72 function na limitasyon sa pamamagitan ng kosha at makakuha. Pangkalahatang kahulugan ng limitasyon ng isang function sa pamamagitan ng pakinabang at sa pamamagitan ng coch. Limitasyon ng isang function - mga pangunahing kahulugan

Kahulugan 1. Hayaan E- isang walang katapusang numero. Kung ang anumang kapitbahayan ay naglalaman ng mga punto ng set E, iba sa punto a, pagkatapos a tinawag nasa gilid set point E.

Kahulugan 2. (Heinrich Heine (1821-1881)). Hayaan ang function
tinukoy sa set X at A tinawag limitasyon mga function
sa punto (o kailan
, kung para sa anumang pagkakasunod-sunod ng mga halaga ng argumento
, nagtatagpo sa , ang kaukulang pagkakasunud-sunod ng mga halaga ng function ay nagtatagpo sa numero A. Sumulat:
.

Mga halimbawa. 1) Pag-andar
ay may limitasyon na katumbas ng Sa, sa anumang punto sa linya ng numero.

Sa katunayan, para sa anumang punto at anumang pagkakasunod-sunod ng mga halaga ng argumento
, nagtatagpo sa at binubuo ng mga numero maliban sa , ang kaukulang pagkakasunud-sunod ng mga halaga ng function ay may anyo
, at alam namin na ang sequence na ito ay nagtatagpo sa Sa. Kaya
.

2) Para sa function

.

Ito ay malinaw, dahil kung
, pagkatapos at
.

3) Dirichlet function
ay walang limitasyon sa anumang punto.

Sa katunayan, hayaan
at
, at lahat ay mga rational na numero. Pagkatapos
para sa lahat n, Kaya naman
. Kung
at lahat ay mga hindi makatwirang numero, kung gayon
para sa lahat n, Kaya naman
. Nakita namin na ang mga kondisyon ng Definition 2 ay hindi nasiyahan, samakatuwid
ay wala.

4)
.

Sa katunayan, gumawa ng isang arbitrary na pagkakasunud-sunod
, nagtatagpo sa

numero 2. Pagkatapos . Q.E.D.

Kahulugan 3. (Cauchy (1789-1857)). Hayaan ang function
tinukoy sa set X at ang limit point ng set na ito. Numero A tinawag limitasyon mga function
sa punto (o kailan
, kung para sa alinman
magkakaroon
, na para sa lahat ng mga halaga ng argumento X nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay

,

ang hindi pagkakapantay-pantay

.

Sumulat:
.

Ang kahulugan ng Cauchy ay maaari ding ibigay sa tulong ng mga kapitbahayan, kung mapapansin mo na , a:

hayaan ang function
tinukoy sa set X at ang limit point ng set na ito. Numero A tinatawag na limitasyon mga function
sa punto , kung para sa alinman -kapitbahayan ng isang punto A
may nabutas - kapitbahayan ng punto
, ganyan
.

Ito ay kapaki-pakinabang upang ilarawan ang kahulugan na ito sa isang figure.

Halimbawa 5.
.

Talaga, kunin natin
arbitraryo at hanapin
, para sa lahat X nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay
ang hindi pagkakapantay-pantay
. Ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay katumbas ng hindi pagkakapantay-pantay
, kaya nakikita natin na sapat na itong kunin
. Napatunayan na ang assertion.

patas

Teorama 1. Ang mga kahulugan ng limitasyon ng isang function ayon kay Heine at ayon kay Cauchy ay katumbas.

Patunay. 1) Hayaan
ni Cauchy. Patunayan natin na ang parehong numero ay ang limitasyon din ayon kay Heine.

Kunin natin
arbitraryo. Ayon sa Definition 3, mayroong
, para sa lahat
ang hindi pagkakapantay-pantay
. Hayaan
ay isang arbitrary na pagkakasunud-sunod tulad na
sa
. Tapos may number N para sa lahat
ang hindi pagkakapantay-pantay
, Kaya naman
para sa lahat
, ibig sabihin.

ayon kay Heine.

2) Hayaan ngayon
ayon kay Heine. Patunayan natin yan
at ayon kay Cauchy.

Ipagpalagay ang kabaligtaran, i.e. Ano
ni Cauchy. Tapos meron
tulad na para sa anumang
magkakaroon
,
at
. Isaalang-alang ang pagkakasunod-sunod
. Para sa tinukoy
at anuman n umiiral

at
. Ibig sabihin nito ay
, bagaman
, ibig sabihin. numero A ay hindi ang limitasyon
sa punto ayon kay Heine. Nakakuha kami ng isang kontradiksyon, na nagpapatunay sa assertion. Napatunayan na ang theorem.

Teorama 2 (sa uniqueness ng limitasyon). Kung mayroong limitasyon ng isang function sa isang punto , kung gayon ito ay isa lamang.

Patunay. Kung ang limitasyon ay tinukoy sa kahulugan ng Heine, kung gayon ang pagiging natatangi nito ay sumusunod mula sa pagiging natatangi ng limitasyon ng pagkakasunud-sunod. Kung ang limitasyon ay tinukoy ayon sa Cauchy, ang pagiging natatangi nito ay sumusunod mula sa pagkakapareho ng mga kahulugan ng limitasyon ayon kay Cauchy at ayon kay Heine. Napatunayan na ang theorem.

Katulad ng Cauchy criterion para sa mga sequence, mayroong Cauchy criterion para sa pagkakaroon ng limitasyon ng isang function. Bago ito bumalangkas, nagbibigay tayo

Kahulugan 4. Sinasabi nila na ang function
natutugunan ang kondisyon ng Cauchy sa punto , kung para sa alinman
umiiral

, ganyan
at
, ang hindi pagkakapantay-pantay
.

Teorama 3 (Cauchy's criterion para sa pagkakaroon ng limitasyon). Upang ang pag-andar
nagkaroon sa punto may hangganan na limitasyon, ito ay kinakailangan at sapat na sa puntong ito ang function ay natutugunan ang Cauchy na kondisyon.

Patunay.Kailangan. Hayaan
. Kailangan nating patunayan iyon
nasiyahan sa punto ang kalagayan ng Cauchy.

Kunin natin
arbitraryo at ilagay
. Sa pamamagitan ng kahulugan ng limitasyon para sa umiiral
, para sa anumang mga halaga
nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay
at
, ang mga hindi pagkakapantay-pantay
at
. Pagkatapos

Ang pangangailangan ay napatunayan.

Kasapatan. Hayaan ang function
nasiyahan sa punto ang kalagayan ng Cauchy. Kailangang patunayan na may punto siya limitasyon ng pagtatapos.

Kunin natin
arbitraryo. Sa Definition 4, meron
, tulad na mula sa hindi pagkakapantay-pantay
,
sinusundan iyon
- ito ay ibinigay.

Ipakita muna natin iyon para sa anumang pagkakasunud-sunod
, nagtatagpo sa , pagkakasunod-sunod
nagtatagpo ang mga halaga ng function. Sa katunayan, kung
, pagkatapos, sa bisa ng kahulugan ng limitasyon ng pagkakasunod-sunod, para sa isang naibigay
may numero N, tulad na para sa anumang

at
. Sa abot ng
sa punto natutugunan ang kondisyon ng Cauchy, mayroon kami
. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pamantayan ng Cauchy para sa mga pagkakasunud-sunod, ang pagkakasunud-sunod
nagtatagpo. Ipakita natin na ang lahat ng gayong mga pagkakasunud-sunod
magtagpo sa parehong limitasyon. Ipagpalagay ang kabaligtaran, i.e. ano ang mga sequence
at
,
,
, ganyan. Isaalang-alang natin ang isang pagkakasunud-sunod. Ito ay malinaw na ito ay nagtatagpo sa , samakatuwid, sa pamamagitan ng kung ano ang napatunayan sa itaas, ang pagkakasunod-sunod ay nagtatagpo, na imposible, dahil ang mga kasunod
at
may iba't ibang limitasyon at . Ang nakuhang kontradiksyon ay nagpapakita na =. Samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan ni Heine, ang isang function ay may sa isang punto limitasyon ng pagtatapos. Ang kasapatan, at samakatuwid ang teorama, ay napatunayan.

Kahulugan ng pagkakasunud-sunod at mga limitasyon ng pag-andar, mga katangian ng mga limitasyon, una at pangalawang kapansin-pansin na mga limitasyon, mga halimbawa.

pare-parehong numero a tinawag limitasyon mga pagkakasunod-sunod(x n) kung para sa anumang arbitraryong maliit na positibong numero ε > 0 mayroong isang numerong N upang ang lahat ng mga halaga x n, kung saan ang n>N, ay nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay

Isulat ito bilang sumusunod: o x n → a.

Ang hindi pagkakapantay-pantay (6.1) ay katumbas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay

a - ε< x n < a + ε которое означает, что точки x n, simula sa ilang numero n>N, nakahiga sa loob ng pagitan (a-ε , a+ε), i.e. mahulog sa anumang maliit na ε-kapitbahayan ng punto a.

Ang pagkakasunod-sunod na may limitasyon ay tinatawag nagtatagpo, kung hindi - divergent.

Ang konsepto ng limitasyon ng isang function ay isang generalization ng konsepto ng limitasyon ng isang sequence, dahil ang limitasyon ng isang sequence ay maaaring ituring bilang limitasyon ng function x n = f(n) ng isang integer argument n.

Hayaang maibigay ang isang function na f(x) at hayaan a - limitasyon ng punto ang domain ng kahulugan ng function na ito D(f), i.e. tulad ng isang punto, anumang kapitbahayan kung saan naglalaman ng mga punto ng set D(f) naiiba mula sa a. Dot a maaari o hindi kabilang sa set D(f).

Kahulugan 1. Ang pare-parehong numero A ay tinatawag limitasyon mga function f(x) sa x→ a kung para sa anumang pagkakasunud-sunod (x n ) ng mga halaga ng argumento a, ang mga kaukulang sequence (f(x n)) ay may parehong limitasyon A.

Ang kahulugang ito ay tinatawag pagtukoy sa limitasyon ng isang function ayon kay Heine, o" sa wika ng mga pagkakasunod-sunod”.

Kahulugan 2. Ang pare-parehong numero A ay tinatawag limitasyon mga function f(x) sa x→a kung, binigyan ng arbitrary, arbitraryong maliit na positibong numero ε, mahahanap ng isa ang δ >0 (depende sa ε) para sa lahat x, nakahiga sa ε-kapitbahayan ng numero a, ibig sabihin. para sa x nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε

Ang kahulugang ito ay tinatawag pagtukoy sa limitasyon ng isang function ayon sa Cauchy, o “sa wikang ε - δ"

Ang mga kahulugan 1 at 2 ay katumbas. Kung ang function na f(x) bilang x → a ay may limitasyon katumbas ng A, ito ay nakasulat bilang

Kung sakaling ang sequence (f(x n)) ay tumaas (o bumaba) nang walang katiyakan para sa anumang paraan ng approximation x sa iyong limitasyon a, pagkatapos ay sasabihin natin na mayroon ang function na f(x). walang katapusang limitasyon, at isulat ito bilang:

Ang isang variable (i.e. isang sequence o function) na ang limitasyon ay zero ay tinatawag walang katapusang maliit.

Ang isang variable na ang limitasyon ay katumbas ng infinity ay tinatawag walang hanggan malaki.

Upang mahanap ang limitasyon sa pagsasanay, gamitin ang mga sumusunod na theorems.

Teorama 1 . Kung ang bawat limitasyon ay umiiral

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Magkomento. Ang mga ekspresyon ng anyong 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞ ay hindi tiyak, halimbawa, ang ratio ng dalawang infinitesimal o infinitely large quantities, at ang paghahanap ng limitasyon ng ganitong uri ay tinatawag na “uncertainty disclosure”.

Teorama 2.

mga. posibleng pumasa sa limitasyon sa base ng degree sa isang pare-parehong exponent, sa partikular,

Teorama 3.

(6.11)

saan e» Ang 2.7 ay ang batayan ng natural na logarithm. Ang mga formula (6.10) at (6.11) ay tinatawag na unang kapansin-pansing limitasyon at ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon.

Ang mga corollaries ng formula (6.11) ay ginagamit din sa pagsasanay:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

sa partikular ang limitasyon

Kung x → a at sa parehong oras x > a, pagkatapos ay isulat ang x →a + 0. Kung, sa partikular, a = 0, pagkatapos ay isulat ang +0 sa halip na ang simbolo na 0+0. Katulad nito, kung x→a at sa parehong oras x at pinangalanan nang naaayon. tamang limitasyon at kaliwang limitasyon mga function f(x) sa punto a. Para umiral ang limitasyon ng function na f(x) bilang x→ a, kinakailangan at sapat na iyon . Ang function na f(x) ay tinatawag tuloy-tuloy sa punto x 0 kung limitasyon

(6.15)

Ang kundisyon (6.15) ay maaaring muling isulat bilang:

iyon ay, ang pagpasa sa limitasyon sa ilalim ng tanda ng isang function ay posible kung ito ay tuloy-tuloy sa isang naibigay na punto.

Kung ang pagkakapantay-pantay (6.15) ay nilabag, kung gayon sasabihin namin iyon sa x = xo function f(x) Mayroon itong gap. Isaalang-alang ang function na y = 1/x. Ang domain ng function na ito ay ang set R, maliban sa x = 0. Ang point x = 0 ay isang limit point ng set D(f), dahil sa alinman sa mga kapitbahayan nito, i.e., anumang bukas na pagitan na naglalaman ng punto 0 ay naglalaman ng mga puntos mula sa D(f), ngunit hindi ito kabilang sa set na ito. Ang value na f(x o)= f(0) ay hindi tinukoy, kaya ang function ay may discontinuity sa puntong x o = 0.

Ang function na f(x) ay tinatawag tuloy-tuloy sa kanan sa isang punto x o kung limitasyon

at tuloy-tuloy sa kaliwa sa isang punto x o kung limitasyon

Pagpapatuloy ng isang function sa isang punto x o ay katumbas ng pagpapatuloy nito sa puntong ito sa kanan at kaliwa.

Para sa isang function na maging tuluy-tuloy sa isang punto x o, halimbawa, sa kanan, kinakailangan, una, na may hangganang limitasyon , at pangalawa, na ang limitasyong ito ay katumbas ng f(x o). Samakatuwid, kung hindi bababa sa isa sa dalawang kundisyong ito ang hindi matugunan, magkakaroon ng gap ang function.

1. Kung ang limitasyon ay umiiral at hindi katumbas ng f(x o), pagkatapos ay sinasabi nila iyon function f(x) sa punto mayroon si xo break ng unang uri, o tumalon.

2. Kung ang limitasyon ay +∞ o -∞ o wala, kung gayon sinasabi nila iyon sa punto x o may pahinga ang function pangalawang uri.

Halimbawa, ang function na y = ctg x bilang x → +0 ay may limitasyon na katumbas ng +∞ , na nangangahulugan na sa puntong x=0 ito ay may discontinuity ng pangalawang uri. Function y = E(x) (integer na bahagi ng x) sa mga puntong may integer abscissas ay may mga discontinuities ng unang uri, o mga jump.

Ang isang function na tuluy-tuloy sa bawat punto ng pagitan ay tinatawag tuloy-tuloy v. Ang isang tuluy-tuloy na function ay kinakatawan ng isang solid curve.

Maraming mga problema na nauugnay sa patuloy na paglaki ng ilang dami ang humahantong sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Ang mga naturang gawain, halimbawa, ay kinabibilangan ng: ang paglaki ng kontribusyon ayon sa batas ng tambalang interes, ang paglaki ng populasyon ng bansa, ang pagkabulok ng isang radioactive substance, ang pagdami ng bacteria, atbp.

Isipin mo halimbawa ng Ya. I. Perelman, na nagbibigay ng interpretasyon ng numero e sa problema ng tambalang interes. Numero e may hangganan . Sa mga savings bank, ang pera ng interes ay idinaragdag sa nakapirming kapital taun-taon. Kung ang koneksyon ay ginawa nang mas madalas, kung gayon ang kapital ay lumalaki nang mas mabilis, dahil ang isang malaking halaga ay kasangkot sa pagbuo ng interes. Kumuha tayo ng isang purong teoretikal, lubos na pinasimpleng halimbawa. Hayaang maglagay ang bangko ng 100 den. mga yunit sa rate na 100% kada taon. Kung ang pera na may interes ay idinagdag sa nakapirming kapital pagkatapos lamang ng isang taon, pagkatapos ay sa oras na ito ay 100 den. mga yunit magiging 200 den. Ngayon tingnan natin kung ano ang magiging 100 den. mga yunit, kung ang pera ng interes ay idaragdag sa nakapirming kapital kada anim na buwan. Pagkatapos ng kalahating taon 100 den. mga yunit lalago ng 100 × 1.5 = 150, at sa isa pang anim na buwan - ng 150 × 1.5 = 225 (mga yunit ng pera). Kung ang pag-akyat ay ginagawa tuwing 1/3 ng taon, pagkatapos ng isang taon 100 den. mga yunit magiging 100 × (1 + 1/3) 3 ≈ 237 (den. units). Dadagdagan namin ang timeframe para sa pagdaragdag ng pera ng interes sa 0.1 taon, 0.01 taon, 0.001 taon, at iba pa. Tapos sa 100 den. mga yunit makalipas ang isang taon:

100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (den. units),

100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (den. units),

100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (den. units).

Sa isang walang limitasyong pagbawas sa mga tuntunin ng pagsali sa interes, ang naipon na kapital ay hindi lumalaki nang walang katiyakan, ngunit lumalapit sa isang tiyak na limitasyon na katumbas ng humigit-kumulang 271. Ang kapital na inilagay sa 100% bawat taon ay hindi maaaring tumaas ng higit sa 2.71 beses, kahit na ang naipon na interes ay idinagdag sa kapital bawat segundo dahil ang limitasyon

Halimbawa 3.1. Gamit ang kahulugan ng limitasyon ng isang pagkakasunod-sunod ng numero, patunayan na ang pagkakasunod-sunod na x n =(n-1)/n ay may limitasyon na katumbas ng 1.

Solusyon. Kailangan nating patunayan na kahit anong ε > 0 ang kunin natin, mayroong natural na bilang N para dito, para sa lahat n > N ang hindi pagkakapantay-pantay |x n -1|< ε

Kunin ang anumang ε > 0. Dahil x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, pagkatapos ay upang mahanap ang N sapat na upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay 1/n<ε. Отсюда n>1/ε at, samakatuwid, ang N ay maaaring kunin bilang integer na bahagi ng 1/ε N = E(1/ε). Kaya namin pinatunayan na ang limitasyon.

Halimbawa 3.2. Hanapin ang limitasyon ng isang sequence na ibinigay ng isang karaniwang termino .

Solusyon. Ilapat ang limit sum theorem at hanapin ang limitasyon ng bawat termino. Bilang n → ∞, ang numerator at denominator ng bawat termino ay may posibilidad na infinity, at hindi natin direktang mailalapat ang quotient limit theorem. Kaya naman, nag-transform muna kami x n, hinahati ang numerator at denominator ng unang termino sa pamamagitan ng n 2, at ang pangalawa n. Pagkatapos, ang paglalapat ng quotient limit theorem at ang sum limit theorem, makikita natin:

Halimbawa 3.3. . Hanapin ang .

Solusyon.

Dito ginamit namin ang degree limit theorem: ang limitasyon ng isang degree ay katumbas ng antas ng limitasyon ng base.

Halimbawa 3.4. Hanapin ( ).

Solusyon. Imposibleng ilapat ang difference limit theorem, dahil mayroon tayong kawalan ng katiyakan sa form na ∞-∞. Ibahin natin ang formula ng pangkalahatang termino:

Halimbawa 3.5. Given a function f(x)=2 1/x . Patunayan na ang limitasyon ay hindi umiiral.

Solusyon. Ginagamit namin ang kahulugan 1 ng limitasyon ng isang function sa mga tuntunin ng isang sequence. Kumuha ng sequence ( x n ) na nagko-convert sa 0, i.e. Ipakita natin na ang value na f(x n)= ay kumikilos nang iba para sa iba't ibang sequence. Hayaan ang x n = 1/n. Malinaw, pagkatapos ay ang limitasyon Pumili tayo ngayon bilang x n isang sequence na may karaniwang termino x n = -1/n, na may posibilidad din sa zero. Samakatuwid, walang limitasyon.

Halimbawa 3.6. Patunayan na ang limitasyon ay hindi umiiral.

Solusyon. Hayaang ang x 1 , x 2 ,..., x n ,... ay isang pagkakasunud-sunod kung saan
. Paano gumagana ang sequence (f(x n)) = (sin x n ) para sa iba't ibang x n → ∞

Kung x n \u003d p n, pagkatapos ay kasalanan x n \u003d kasalanan (p n) = 0 para sa lahat n at limitahan Kung
xn=2 p n+ p /2, pagkatapos sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 para sa lahat n at samakatuwid ang limitasyon. Kaya hindi umiiral.

Ang mga kahulugan ng limitasyon ng isang function ayon kay Heine (sa mga tuntunin ng mga sequence) at sa mga tuntunin ng Cauchy (sa mga tuntunin ng epsilon at delta neighborhood) ay ibinigay. Ang mga kahulugan ay ibinigay sa isang unibersal na anyo na naaangkop sa parehong bilateral at isang panig na mga limitasyon sa may hangganan at sa mga infinity na punto. Ang kahulugan na ang isang punto a ay hindi isang limitasyon ng isang function ay isinasaalang-alang. Patunay ng pagkakapareho ng mga kahulugan ayon kay Heine at ayon kay Cauchy.

Nilalaman

Tingnan din: Kapitbahayan ng isang punto
Pagtukoy sa limitasyon ng isang function sa dulong punto
Pagtukoy sa limitasyon ng isang function sa infinity

Unang kahulugan ng limitasyon ng isang function (ayon kay Heine)

(x) sa punto x 0 :
,
kung
1) mayroong isang butas na kapitbahayan ng puntong x 0
2) para sa anumang pagkakasunud-sunod ( x n ), nagtatagpo sa x 0 :
, na ang mga elemento ay kabilang sa kapitbahayan,
pagkakasunod-sunod (f(xn)) nagtatagpo sa isang:
.

Dito x 0 at ang a ay maaaring may hangganan na mga numero o mga puntos sa infinity. Ang kapitbahayan ay maaaring maging dalawang panig o isang panig.

.

Ang pangalawang kahulugan ng limitasyon ng isang function (ayon kay Cauchy)

Ang bilang a ay tinatawag na limitasyon ng function na f (x) sa punto x 0 :
,
kung
1) mayroong isang butas na kapitbahayan ng puntong x 0 kung saan tinukoy ang function;
2) para sa anumang positibong numero ε > 0 mayroong isang numero δ ε > 0 , depende sa ε, na para sa lahat ng x na kabilang sa isang butas na δ ε na kapitbahayan ng puntong x 0 :
,
mga halaga ng function f (x) nabibilang sa ε - mga kapitbahayan ng point a :
.

puntos x 0 at ang a ay maaaring may hangganan na mga numero o mga puntos sa infinity. Ang kapitbahayan ay maaari ding maging dalawang panig at isang panig.

Isinulat namin ang kahulugang ito gamit ang mga lohikal na simbolo ng pagkakaroon at pagiging pangkalahatan:
.

Gumagamit ang kahulugang ito ng mga kapitbahayan na may magkaparehong distansiya. Ang isang katumbas na kahulugan ay maaari ding ibigay gamit ang mga arbitraryong kapitbahayan ng mga puntos.

Kahulugan gamit ang mga arbitrary na kapitbahayan
Ang bilang a ay tinatawag na limitasyon ng function na f (x) sa punto x 0 :
,
kung
1) mayroong isang butas na kapitbahayan ng puntong x 0 kung saan tinukoy ang function;
2) para sa anumang kapitbahayan U (a) point a mayroong isang butas na kapitbahayan ng puntong x 0 , na para sa lahat ng x na nabibilang sa isang butas na kapitbahayan ng puntong x 0 :
,
mga halaga ng function f (x) kabilang sa kapitbahayan U (a) puntos a:
.

Gamit ang mga lohikal na simbolo ng pag-iral at pagiging pangkalahatan, ang kahulugan na ito ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
.

Mga unilateral at bilateral na limitasyon

Ang mga kahulugan sa itaas ay pangkalahatan sa kahulugan na magagamit ang mga ito para sa anumang uri ng kapitbahayan. Kung, habang ginagamit natin ang kaliwang kamay na butas na kapitbahayan ng dulong punto, makukuha natin ang kahulugan ng kaliwang kamay na limitasyon . Kung gagamitin natin ang neighborhood ng isang point at infinity bilang neighborhood, makukuha natin ang definition ng limit sa infinity.

Upang matukoy ang limitasyon ayon kay Heine, binabawasan nito ang katotohanan na ang isang di-makatwirang pagkakasunud-sunod na nagtatagpo sa , ay nakapatong. karagdagang paghihigpit- ang mga elemento nito ay dapat na kabilang sa kaukulang butas na kapitbahayan ng punto.

Upang matukoy ang limitasyon ng Cauchy, kinakailangan sa bawat kaso na ibahin ang anyo ng mga expression at maging mga hindi pagkakapantay-pantay, gamit ang kaukulang mga kahulugan ng isang kapitbahayan ng isang punto.
Tingnan ang "Kapitbahayan ng isang punto".

Ang pagtukoy na ang isang punto a ay hindi ang limitasyon ng isang function

Kadalasan mayroong pangangailangang gamitin ang kundisyon na ang punto a ay hindi ang limitasyon ng function para sa . Bumuo tayo ng mga negasyon sa mga kahulugan sa itaas. Sa kanila, ipinapalagay namin na ang function f (x) ay tinukoy sa ilang butas na kapitbahayan ng puntong x 0 . Mga puntos a at x 0 maaaring parehong may hangganan na mga numero at walang katapusan na malayo. Lahat ng nakasaad sa ibaba ay nalalapat sa parehong bilateral at isang panig na limitasyon.

Ayon kay Heine.
Bilang a ay hindi limitasyon ng function f (x) sa punto x 0 : ,
kung may ganitong pagkakasunod-sunod ( x n ), nagtatagpo sa x 0 :
,
na ang mga elemento ay kabilang sa kapitbahayan,
anong pagkakasunod-sunod (f(xn)) ay hindi nagtatagpo sa isang:
.
.

Ayon kay Cauchy.
Bilang a ay hindi limitasyon ng function f (x) sa punto x 0 :
,
kung mayroong ganoong positibong numero ε > 0 , upang para sa anumang positibong numero δ > 0 , mayroong x na kabilang sa isang butas na δ na kapitbahayan ng puntong x 0 :
,
na ang halaga ng function f (x) ay hindi kabilang sa ε kapitbahayan ng point a :
.
.

Siyempre, kung ang point a ay hindi ang limitasyon ng function sa , hindi ito nangangahulugan na hindi ito maaaring magkaroon ng limitasyon. Marahil ay may limitasyon, ngunit hindi ito katumbas ng isang . Posible rin na ang function ay tinukoy sa isang butas na kapitbahayan ng punto, ngunit walang limitasyon sa .

Function f(x) = sin(1/x) ay walang limitasyon bilang x → 0.

Halimbawa, ang function ay tinukoy sa , ngunit walang limitasyon. Para sa patunay, kinukuha namin ang pagkakasunud-sunod . Ito ay nagtatagpo sa isang punto 0 : . Dahil, kung gayon.
Magsunod-sunod tayo. Ito rin ay nagtatagpo sa punto 0 : . Pero simula noon .
Kung gayon ang limitasyon ay hindi maaaring katumbas ng anumang numero a . Sa katunayan, para sa , mayroong isang pagkakasunod-sunod kung saan . Samakatuwid, ang anumang hindi zero na numero ay hindi isang limitasyon. Ngunit hindi rin ito limitasyon, dahil may pagkakasunod-sunod kung saan .

Pagkakatumbas ng mga kahulugan ng limitasyon ayon kay Heine at ayon kay Cauchy

Teorama
Ang mga kahulugan ng Heine at Cauchy ng limitasyon ng isang function ay katumbas.

Patunay

Sa patunay, ipinapalagay namin na ang function ay tinukoy sa ilang butas na kapitbahayan ng punto (finite o sa infinity). Ang puntong a ay maaari ding may hangganan o sa infinity.

Heine proof ⇒ Cauchy

Hayaang magkaroon ng limitasyon ang isang function a sa isang punto ayon sa unang kahulugan (ayon kay Heine). Iyon ay, para sa anumang sequence na kabilang sa isang butas na kapitbahayan ng punto at may limitasyon
(1) ,
ang limitasyon ng pagkakasunud-sunod ay isang:
(2) .

Ipakita natin na ang function ay may limitasyon ng Cauchy sa isang punto. Iyon ay, para sa anumang mayroong na para sa lahat.

Ipagpalagay natin ang kabaligtaran. Hayaang matugunan ang mga kundisyon (1) at (2), ngunit ang function ay walang limitasyon sa Cauchy. Iyon ay, mayroong umiiral na para sa anumang umiiral , kaya iyon
.

Kunin ang , kung saan ang n ay isang natural na numero. Pagkatapos ay umiiral at
.
Kaya kami ay nakagawa ng isang sequence na nagtatagpo sa , ngunit ang limitasyon ng sequence ay hindi katumbas ng isang . Ito ay sumasalungat sa kondisyon ng teorama.

Ang unang bahagi ay napatunayan.

Cauchy proof ⇒ Heine

Hayaang magkaroon ng limitasyon ang isang function a sa isang punto ayon sa pangalawang kahulugan (ayon kay Cauchy). Ibig sabihin, para sa sinumang mayroong ganoon
(3) para sa lahat .

Ipakita natin na ang function ay may limitasyon a sa isang punto ayon kay Heine.
Kumuha tayo ng arbitrary na numero. Ayon sa kahulugan ni Cauchy, mayroong isang numero , kaya (3) ang humahawak.

Kumuha ng di-makatwirang pagkakasunud-sunod na kabilang sa nabutas na kapitbahayan at nagtatagpo sa . Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang convergent sequence, para sa anumang may umiiral na tulad na
sa .
Pagkatapos mula sa (3) sinusundan iyon
sa .
Dahil ito ay humahawak para sa anumang , kung gayon
.

Napatunayan na ang theorem.

Mga sanggunian:
L.D. Kudryavtsev. Kurso ng pagsusuri sa matematika. Tomo 1. Moscow, 2003.

Tingnan din:

Ang mga pahayag ng mga pangunahing theorems at katangian ng limitasyon ng isang function ay ibinigay. Ang mga kahulugan ng may hangganan at walang katapusan na mga limitasyon sa may hangganang mga punto at sa infinity (two-sided at one-sided) ayon sa Cauchy at Heine ay ibinigay. Isinasaalang-alang ang arithmetic properties; theorems na may kaugnayan sa hindi pagkakapantay-pantay; Pamantayan ng Cauchy convergence; limitasyon ng isang kumplikadong function; mga katangian ng infinitesimal, infinitely large at monotonic functions. Ang kahulugan ng function ay ibinigay.

Nilalaman

Ang pangalawang kahulugan ayon kay Cauchy

Limitasyon ng isang function (ayon kay Cauchy) kasama ang argumento na x na may posibilidad na x 0 ay isang may hangganang numero o isang punto sa infinity a kung saan ang mga sumusunod na kundisyon ay natutugunan:
1) mayroong isang butas na kapitbahayan ng puntong x 0 , kung saan ang function f (x) tinukoy;
2) para sa anumang kapitbahayan ng puntong kabilang sa , mayroong tulad na butas na kapitbahayan ng puntong x 0 , kung saan ang mga halaga ng function ay nabibilang sa napiling kapitbahayan ng point a :
sa .

Narito ang a at x 0 maaari ding maging parehong may hangganan na mga numero at mga puntos sa infinity. Gamit ang mga lohikal na simbolo ng pag-iral at pagiging pangkalahatan, ang kahulugan na ito ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
.

Kung kukunin natin ang kaliwa o kanang kapitbahayan ng dulong punto bilang isang set, pagkatapos ay makukuha natin ang kahulugan ng limitasyon ng Cauchy sa kaliwa o sa kanan.

Teorama
Ang mga kahulugan ng Cauchy at Heine ng limitasyon ng isang function ay katumbas.
Patunay

Naaangkop na mga kapitbahayan ng mga puntos

Pagkatapos, sa katunayan, ang kahulugan ng Cauchy ay nangangahulugang ang sumusunod.
Para sa anumang positibong numero , mayroong mga numero , upang para sa lahat ng x na kabilang sa nabutas na kapitbahayan ng punto : , ang mga halaga ng function ay nabibilang sa kapitbahayan ng punto a: ,
saan,.

Ang kahulugan na ito ay hindi masyadong maginhawa upang gumana, dahil ang mga kapitbahayan ay tinukoy gamit ang apat na numero. Ngunit maaari itong pasimplehin kung magpapakilala tayo ng mga kapitbahayan na may magkaparehong distansya. Ibig sabihin, maaari mong ilagay ang , . Pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang kahulugan na mas madaling gamitin kapag nagpapatunay ng mga theorems. Bukod dito, ito ay katumbas ng kahulugan kung saan ginagamit ang mga arbitraryong kapitbahayan. Ang patunay ng katotohanang ito ay ibinigay sa seksyong "Pagkapantay-pantay ng mga kahulugan ng limitasyon ng isang function ayon sa Cauchy" .

Pagkatapos ay maaari tayong magbigay ng pinag-isang kahulugan ng limitasyon ng isang function sa may hangganan at sa mga infinity na punto:
.
Dito para sa mga endpoint
; ;
.
Ang anumang mga kapitbahayan ng mga punto sa infinity ay nabutas:
; ; .

May hangganan ang mga limitasyon ng function sa mga endpoint

Ang bilang a ay tinatawag na limitasyon ng function na f (x) sa punto x 0 , kung
1) ang function ay tinukoy sa ilang butas na kapitbahayan ng dulong punto;
2) para sa alinmang , mayroong ganoong , depende sa , na para sa lahat ng x , kung saan , ang hindi pagkakapantay-pantay
.

Gamit ang mga lohikal na simbolo ng pagkakaroon at pagiging pangkalahatan, ang kahulugan ng limitasyon ng isang function ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
.

Mga unilateral na limitasyon.
Kaliwang limitasyon sa punto (kaliwang bahagi na limitasyon):
.
Kanang limitasyon sa isang punto (limit sa kanang kamay):
.
Ang mga limitasyon sa kaliwa at kanan ay madalas na tinutukoy bilang mga sumusunod:
; .

May hangganan na mga limitasyon ng isang function sa mga punto sa infinity

Ang mga limitasyon sa walang katapusang malalayong mga punto ay tinukoy sa katulad na paraan.
.
.
.

Walang katapusang mga limitasyon sa pag-andar

Posible ring ipakilala ang mga kahulugan ng walang katapusang limitasyon ng ilang mga palatandaan na katumbas ng at :
.
.

Mga katangian at teorema ng limitasyon ng isang function

Dagdag pa, ipinapalagay namin na ang mga function na isinasaalang-alang ay tinukoy sa kaukulang punctured neighborhood ng point , na isang may hangganang numero o isa sa mga simbolo: . Maaari rin itong maging one-sided limit point, ibig sabihin, may form o . Ang kapitbahayan ay may dalawang panig para sa isang dalawang panig na limitasyon at isang panig para sa isang panig.

Mga pangunahing katangian

Kung ang mga halaga ng function f (x) baguhin (o gawing hindi natukoy) sa isang may hangganang bilang ng mga puntos x 1 , x 2 , x 3 , ... x n, kung gayon ang pagbabagong ito ay hindi makakaapekto sa pagkakaroon at halaga ng limitasyon ng function sa isang arbitrary point x 0 .

Kung mayroong isang may hangganang limitasyon, kung gayon mayroong isang nabutas na kapitbahayan ng puntong x 0 , kung saan ang function f (x) limitado:
.

Hayaang ang function ay nasa puntong x 0 limitasyon ng pagtatapos maliban sa zero:
.
Pagkatapos, para sa anumang bilang na c mula sa pagitan , mayroong isang butas na kapitbahayan ng puntong x 0 para saan,
, kung ;
, kung .

Kung, sa ilang nabutas na kapitbahayan ng punto , ay pare-pareho, kung gayon .

Kung may mga limitasyon at at sa ilang nabutas na kapitbahayan ng puntong x 0
,
tapos .

Kung , at sa ilang kapitbahayan ng punto
,
tapos .
Sa partikular, kung sa ilang kapitbahayan ng punto
,
pagkatapos kung , pagkatapos at ;
kung , pagkatapos at .

Kung sa ilang nabutas na kapitbahayan ng puntong x 0 :
,
at may mga may hangganan (o walang katapusan ng isang tiyak na tanda) pantay na mga limitasyon:
, pagkatapos
.

Ang mga patunay ng mga pangunahing katangian ay ibinigay sa pahina
"Mga Pangunahing Katangian ng Limitasyon ng isang Function".

Hayaan ang mga function at tukuyin sa ilang butas na kapitbahayan ng punto. At magkaroon ng mga limitasyon:
at .
At hayaang ang C ay isang pare-pareho, iyon ay, isang ibinigay na numero. Pagkatapos
;
;
;
, kung .

Kung , kung gayon .

Ang mga patunay ng arithmetic properties ay ibinigay sa pahina
"Mga Arithmetic Properties ng Limitasyon ng isang Function".

Cauchy criterion para sa pagkakaroon ng limitasyon ng isang function

Teorama
Para sa isang function na tinukoy sa ilang nabutas na kapitbahayan ng isang may hangganan o sa infinity point x 0 , ay may hangganan sa puntong ito, ito ay kinakailangan at sapat na para sa anumang ε > 0 nagkaroon ng isang butas na kapitbahayan ng puntong x 0 , na para sa anumang mga punto at mula sa kapitbahayan na ito, ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong:
.

Limitado ng kumplikadong pag-andar

Complex function limit theorem
Hayaang magkaroon ng limitasyon ang function at imapa ang nabutas na kapitbahayan ng punto papunta sa nabutas na kapitbahayan ng punto. Hayaang tukuyin ang function sa kapitbahayan na ito at magkaroon ng limitasyon dito.
Dito - pangwakas o walang katapusang malayong mga punto: . Ang mga kapitbahayan at ang kanilang mga kaukulang limitasyon ay maaaring dalawahan o isang panig.
Pagkatapos ay mayroong isang limitasyon ng kumplikadong pag-andar at ito ay katumbas ng:
.

Nalalapat ang complex function limit theorem kapag ang function ay hindi tinukoy sa isang punto o may value maliban sa limit value. Upang mailapat ang theorem na ito, dapat mayroong isang butas na kapitbahayan ng punto kung saan ang hanay ng mga halaga ng function ay hindi naglalaman ng punto:
.

Kung tuloy-tuloy ang function sa point , maaaring ilapat ang limit sign sa argument ng tuluy-tuloy na function:
.
Ang sumusunod ay isang teorama na naaayon sa kasong ito.

Theorem sa limitasyon ng isang tuluy-tuloy na function ng isang function
Hayaang magkaroon ng limitasyon ng function g (x) bilang x → x 0 , at ito ay katumbas ng t 0 :
.
Narito ang puntong x 0 maaaring may hangganan o sa infinity: .
At hayaan ang function f (t) tuloy-tuloy sa t 0 .
Pagkatapos ay mayroong limitasyon ng composite function f (g(x)), at ito ay katumbas ng f (t0):
.

Ang mga patunay ng theorems ay ibinigay sa pahina
"Ang Limitasyon at Pagpapatuloy ng Isang Kumplikadong Pag-andar".

Infinitesimal at walang katapusang malalaking function

Walang katapusang maliliit na pag-andar

Kahulugan
Ang isang function ay tinatawag na infinitesimal para sa kung
.

Kabuuan, pagkakaiba at produkto ng isang may hangganang bilang ng walang katapusang maliit na function para sa ay isang infinitesimal function para sa .

Ang produkto ng isang function bounded sa ilang mga butas na kapitbahayan ng punto, sa isang infinitesimal para ay isang infinitesimal function ng para sa.

Para sa isang function na magkaroon ng isang may hangganang limitasyon, ito ay kinakailangan at sapat na iyon
,
kung saan ay isang infinitesimal function para sa .

"Properties ng infinitesimal functions".

Walang katapusang malalaking pag-andar

Kahulugan
Ang function ay tinatawag na walang hanggan malaki para sa kung
.

Ang kabuuan o pagkakaiba ng isang bounded function, sa ilang nabutas na kapitbahayan ng punto , at isang walang katapusang malaking function sa ay isang walang katapusang malaking function sa .

Kung ang function ay walang hanggan malaki sa , at ang function ay bounded, sa ilang butas na kapitbahayan ng punto , kung gayon
.

Kung ang function , sa ilang butas na kapitbahayan ng punto , ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay:
,
at ang pag-andar ay walang katapusang maliit para sa:
, at (sa ilang nabutas na kapitbahayan ng punto ), pagkatapos
.

Ang mga patunay ng mga ari-arian ay nakalagay sa seksyon
"Mga katangian ng walang katapusang malalaking pag-andar".

Relasyon sa pagitan ng walang katapusan na malaki at walang katapusan na maliliit na function

Ang koneksyon sa pagitan ng walang hanggan malaki at walang hanggan maliit na function ay sumusunod mula sa dalawang nakaraang mga katangian.

Kung ang function ay walang hanggan malaki sa , kung gayon ang function ay walang hanggan maliit sa .

Kung ang function ay walang hanggan maliit para sa , at , kung gayon ang function ay walang hanggan malaki para sa .

Ang kaugnayan sa pagitan ng isang infinitesimal at isang walang katapusang malaking function ay maaaring ipahayag sa simbolikong paraan:
, .

Kung ang isang infinitesimal function ay may tiyak na sign sa , ibig sabihin, ito ay positibo (o negatibo) sa ilang butas na kapitbahayan ng punto , kung gayon ang katotohanang ito ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod:
.
Katulad nito, kung ang isang walang katapusang malaking function ay may tiyak na sign sa , pagkatapos ay isusulat nila:
.

Pagkatapos ang simbolikong koneksyon sa pagitan ng walang hanggan maliit at walang hanggan na malalaking pag-andar ay maaaring dagdagan ng mga sumusunod na relasyon:
, ,
, .

Ang mga karagdagang formula na nauugnay sa mga simbolo ng infinity ay matatagpuan sa pahina
"Mga puntos sa infinity at ang kanilang mga pag-aari".

Mga limitasyon ng monotonic function

Kahulugan
Ang isang function na tinukoy sa ilang hanay ng mga tunay na numero X ay tinatawag mahigpit na tumataas, kung para sa lahat na mayroong sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:
.
Alinsunod dito, para sa mahigpit na bumababa function, ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:
.
Para sa hindi bumababa:
.
Para sa hindi tumataas:
.

Ito ay nagpapahiwatig na ang isang mahigpit na pagtaas ng function ay hindi rin bumababa. Ang isang mahigpit na pagpapababa ng function ay hindi rin tumataas.

Tinatawag ang function monotonous kung ito ay hindi bumababa o hindi tumataas.

Teorama
Hayaang hindi bumaba ang function sa pagitan , kung saan .
Kung ito ay bounded mula sa itaas sa pamamagitan ng bilang M : , at pagkatapos ay mayroong isang may hangganan limitasyon . Kung hindi nakatali sa itaas, kung gayon .
Kung ito ay nililimitahan mula sa ibaba ng bilang na m : , kung gayon ay may hangganang limitasyon. Kung hindi nakatali sa ibaba, kung gayon .

Kung ang mga puntong a at b ay nasa infinity, kung gayon sa mga expression ang mga palatandaan ng limitasyon ay nangangahulugan na .
Ang teorama na ito ay maaaring mabalangkas nang mas compact.

Hayaang hindi bumaba ang function sa pagitan , kung saan . Pagkatapos ay mayroong isang panig na mga limitasyon sa mga punto a at b:
;
.

Isang katulad na theorem para sa isang hindi tumataas na function.

Hayaang hindi tumaas ang function sa pagitan , kung saan . Pagkatapos ay mayroong isang panig na mga limitasyon:
;
.

Ang patunay ng theorem ay nakasaad sa pahina
"Mga Limitasyon ng Monotonic Function".

Kahulugan ng function

Function y=f (x) ang batas (panuntunan) ay tinatawag, ayon sa kung saan, ang bawat elemento x ng set X ay nauugnay sa isa at isang elemento lamang y ng set Y .

Elemento x ∈ X tinawag argumento ng function o malayang baryabol.
y elemento ∈ Y tinawag halaga ng function o dependent variable.

Ang set X ay tinatawag saklaw ng function.
Set ng mga elemento y ∈ Y, na may mga preimage sa set X , ay tinatawag lugar o hanay ng mga halaga ng function.

Ang aktwal na function ay tinatawag limitado mula sa itaas (mula sa ibaba), kung mayroong isang bilang na M na ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay taglay para sa lahat:
.
Tinatawag ang function ng numero limitado, kung mayroong isang numerong M na para sa lahat:
.

itaas na mukha o eksaktong upper bound Ang totoong function ay tinatawag na pinakamaliit sa mga numero na naglilimita sa hanay ng mga halaga nito mula sa itaas. Ibig sabihin, ito ay isang numerong s kung saan, para sa lahat at para sa alinmang , mayroong ganoong argumento, ang halaga ng function na lumampas sa s′ : .
Ang itaas na hangganan ng function ay maaaring tukuyin bilang mga sumusunod:
.

Kanya-kanya ibabang mukha o tumpak na lower bound Ang tunay na function ay tinatawag na pinakamalaki sa mga numero na naglilimita sa hanay ng mga halaga nito mula sa ibaba. Iyon ay, ito ay isang numerong i kung saan para sa lahat at para sa alinmang , mayroong ganoong argumento , ang halaga ng function kung saan ay mas mababa sa i′ : .
Ang lower bound ng isang function ay maaaring tukuyin bilang mga sumusunod:
.

Mga sanggunian:
L.D. Kudryavtsev. Kurso ng pagsusuri sa matematika. Tomo 1. Moscow, 2003.
CM. Nikolsky. Kurso ng pagsusuri sa matematika. Tomo 1. Moscow, 1983.

Tingnan din:

Ang kahulugan ng finite limit ng isang sequence ay ibinigay. Isinasaalang-alang ang mga kaugnay na katangian at katumbas na kahulugan. Ang isang kahulugan ay ibinigay na ang isang punto a ay hindi isang limitasyon ng isang pagkakasunod-sunod. Ang mga halimbawa ay isinasaalang-alang kung saan ang pagkakaroon ng isang limitasyon ay napatunayan gamit ang kahulugan.

Nilalaman

Tingnan din: Limitasyon ng pagkakasunud-sunod - mga pangunahing teorema at katangian
Mga pangunahing uri ng hindi pagkakapantay-pantay at ang kanilang mga katangian

Dito namin isinasaalang-alang ang kahulugan ng may hangganang limitasyon ng isang sequence. Ang kaso ng isang sequence na nagtatagpo sa infinity ay tinalakay sa pahinang "Definition of an infinitely large sequence".

Ang limitasyon ng isang sequence ay isang numero a kung para sa anumang positibong numero ε > 0 mayroong natural na bilang N ε depende sa ε para sa lahat ng natural na numero n > N ε ang hindi pagkakapantay-pantay
| x n - a|< ε .
Narito ang x n ay ang elemento ng sequence na may numero n . Limitasyon ng pagkakasunud-sunod ipinapahiwatig ng ganito:
.
O sa .

Ibahin natin ang hindi pagkakapantay-pantay:
;
;
.

Ang ε ay isang kapitbahayan ng point a ay isang bukas na pagitan (a - ε, a + ε ). Ang convergent sequence ay isa na may limitasyon. Sinasabi rin na ang pagkakasunod-sunod nagtatagpo sa a. Ang divergent sequence ay isang sequence na walang limitasyon.

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na kung ang pagkakasunod-sunod ay may limitasyon a, kung gayon anuman ang ε - kapitbahayan ng puntong pipiliin natin, isang may hangganang bilang lamang ng mga elemento ng pagkakasunud-sunod, o wala sa lahat (empty set), ang maaaring nasa labas. nito. At anumang ε - kapitbahayan ay naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga elemento. Sa katunayan, sa pamamagitan ng pagtatakda ng isang tiyak na numero ε , sa gayon ay mayroon tayong numero . Kaya't ang lahat ng mga elemento ng sequence na may mga numero , ayon sa kahulugan, ay nasa ε - kapitbahayan ng punto a . Ang mga unang elemento ay maaaring kahit saan. Iyon ay, sa labas ng ε - kapitbahayan ay maaaring hindi hihigit sa mga elemento - iyon ay, isang may hangganang numero.

Napansin din namin na ang pagkakaiba ay hindi kailangang monotonously ay may posibilidad na zero, iyon ay, upang bumaba sa lahat ng oras. Maaari itong maging zero hindi monotonically: maaari itong tumaas o bumaba, na may lokal na maxima. Gayunpaman, ang maxima na ito, na may pagtaas ng n, ay dapat maging zero (marahil ay hindi rin monotonously).

Gamit ang mga lohikal na simbolo ng pagkakaroon at pagiging pangkalahatan, ang kahulugan ng limitasyon ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
(1) .

Ang pagtukoy na ang a ay hindi isang limitasyon

Ngayon isaalang-alang ang converse assertion na ang numero a ay hindi ang limitasyon ng sequence.

Bilang a ay hindi ang limitasyon ng pagkakasunod-sunod, kung mayroong umiiral na para sa anumang natural n mayroong ganoong natural na m >n, Ano
.

Isulat natin ang pahayag na ito gamit ang mga lohikal na simbolo.
(2) .

Ang paninindigan na ang bilang a ay hindi ang limitasyon ng pagkakasunod-sunod, ibig sabihin
maaari kang pumili ng gayong ε - kapitbahayan ng punto a, sa labas kung saan magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga elemento ng pagkakasunud-sunod.

Isaalang-alang ang isang halimbawa. Hayaang magbigay ng pagkakasunod-sunod na may karaniwang elemento
(3)
Ang anumang kapitbahayan ng isang punto ay naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga elemento. Gayunpaman, ang puntong ito ay hindi ang limitasyon ng pagkakasunud-sunod, dahil ang anumang kapitbahayan ng punto ay naglalaman din ng walang katapusang bilang ng mga elemento. Kunin ang ε - isang kapitbahayan ng isang punto na may ε = 1 . Ito ang magiging pagitan (-1, +1) . Ang lahat ng mga elemento maliban sa una na may kahit n ay nabibilang sa pagitan na ito. Ngunit ang lahat ng mga elemento na may kakaibang n ay nasa labas ng agwat na ito dahil natutugunan nila ang hindi pagkakapantay-pantay x n > 2 . Dahil ang bilang ng mga kakaibang elemento ay walang katapusan, magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga elemento sa labas ng napiling kapitbahayan. Samakatuwid, ang punto ay hindi ang limitasyon ng pagkakasunud-sunod.

Ipakita natin ito ngayon sa pamamagitan ng mahigpit na pagsunod sa paninindigan (2). Ang punto ay hindi ang limitasyon ng sequence (3), dahil mayroong ganoong , upang, para sa anumang natural n , mayroong isang kakaibang n kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay
.

Maaari ding ipakita na ang anumang punto a ay hindi maaaring maging limitasyon ng pagkakasunod-sunod na ito. Maaari tayong palaging pumili ng ε - neighborhood ng point a na hindi naglalaman ng point 0 o point 2. At pagkatapos ay magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga elemento ng sequence sa labas ng napiling neighborhood.

Katumbas na kahulugan ng sequence limit

Maaari tayong magbigay ng katumbas na kahulugan ng limitasyon ng isang sequence kung palawakin natin ang konsepto ng ε - neighborhood. Makakakuha tayo ng katumbas na kahulugan kung sa halip na ε-kapitbahayan, anumang kapitbahayan ng punto a ang lalabas dito. Ang kapitbahayan ng isang punto ay anumang bukas na pagitan na naglalaman ng puntong iyon. Sa matematika punto kapitbahayan ay tinukoy bilang mga sumusunod: , kung saan ε 1 at ε 2 ay mga di-makatwirang positibong numero.

Pagkatapos ang katumbas na kahulugan ng limitasyon ay ang mga sumusunod.

Ang limitasyon ng isang sequence ay isang numerong a kung para sa alinman sa mga kapitbahayan nito ay mayroong ganoong natural na numero N , upang ang lahat ng elemento ng sequence na may mga numero ay nabibilang sa kapitbahayan na ito.

Ang kahulugan na ito ay maaari ding ipakita sa pinalawak na anyo.

Ang limitasyon ng isang sequence ay isang numero a kung para sa anumang positibong mga numero at mayroong isang natural na numero N depende sa at tulad na ang mga hindi pagkakapantay-pantay para sa lahat ng natural na mga numero.
.

Patunay ng pagkakapareho ng mga kahulugan

Patunayan natin na ang dalawang kahulugan sa itaas ng limitasyon ng isang sequence ay katumbas.

Hayaang ang numero a ang limitasyon ng pagkakasunod-sunod ayon sa unang kahulugan. Nangangahulugan ito na mayroong isang function , upang para sa anumang positibong numero ε ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:
(4) sa .

Ipakita natin na ang bilang a ay ang limitasyon ng pagkakasunod-sunod ng pangalawang kahulugan din. Iyon ay, kailangan nating ipakita na mayroong ganoong function , para sa anumang positibong numero ε 1 at ε 2 may mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:
(5) sa .

Hayaan tayong magkaroon ng dalawang positibong numero: ε 1 at ε 2 . At hayaang ε ang pinakamaliit sa kanila: . Pagkatapos ; ; . Ginagamit namin ito sa (5):
.
Ngunit ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak para sa . Pagkatapos ang hindi pagkakapantay-pantay (5) ay humahawak din para sa .

Ibig sabihin, nakahanap kami ng function na ang mga hindi pagkakapantay-pantay (5) ay humahawak para sa anumang positibong numero ε 1 at ε 2 .
Ang unang bahagi ay napatunayan.

Ngayon, hayaang ang numero a ang limitasyon ng pagkakasunod-sunod ayon sa pangalawang kahulugan. Nangangahulugan ito na mayroong isang function , para sa anumang positibong numero ε 1 at ε 2 may mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:
(5) sa .

Ipakita natin na ang bilang a ay ang limitasyon ng pagkakasunod-sunod at sa pamamagitan ng unang kahulugan. Para dito kailangan mong ilagay . Pagkatapos, para sa , ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili:
.
Ito ay tumutugma sa unang kahulugan na may .
Ang pagkakapantay-pantay ng mga kahulugan ay napatunayan.

Mga halimbawa

Halimbawa 1

Patunayan mo yan.

(1) .
Sa kaso natin ;
.

.
Gamitin natin ang mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay. Pagkatapos kung at , pagkatapos
.

.
Pagkatapos
sa .
Nangangahulugan ito na ang numero ay ang limitasyon ng ibinigay na sequence:
.

Halimbawa 2

Gamit ang kahulugan ng limitasyon ng isang sequence, patunayan iyon
.

Isinulat namin ang kahulugan ng limitasyon ng isang sequence:
(1) .
Sa kaso natin , ;
.

Naglalagay kami ng mga positibong numero at:
.
Gamitin natin ang mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay. Pagkatapos kung at , pagkatapos
.

Ibig sabihin, para sa anumang positibo , maaari tayong kumuha ng anumang natural na bilang na mas malaki sa o katumbas ng :
.
Pagkatapos
sa .
.

Halimbawa 3

.

Ipinakilala namin ang notasyon , .
Ibahin natin ang pagkakaiba:
.
Para sa natural n = 1, 2, 3, ... meron kami:
.

Isinulat namin ang kahulugan ng limitasyon ng isang sequence:
(1) .
Naglalagay kami ng mga positibong numero at:
.
Pagkatapos kung at , pagkatapos
.

Ibig sabihin, para sa anumang positibo , maaari tayong kumuha ng anumang natural na bilang na mas malaki sa o katumbas ng :
.
Kung saan
sa .
Nangangahulugan ito na ang numero ay ang limitasyon ng pagkakasunud-sunod:
.

Halimbawa 4

Gamit ang kahulugan ng limitasyon ng isang sequence, patunayan iyon
.

Isinulat namin ang kahulugan ng limitasyon ng isang sequence:
(1) .
Sa kaso natin , ;
.

Naglalagay kami ng mga positibong numero at:
.
Pagkatapos kung at , pagkatapos
.

Ibig sabihin, para sa anumang positibo , maaari tayong kumuha ng anumang natural na bilang na mas malaki sa o katumbas ng :
.
Pagkatapos
sa .
Nangangahulugan ito na ang numero ay ang limitasyon ng pagkakasunud-sunod:
.

Mga sanggunian:
L.D. Kudryavtsev. Kurso ng pagsusuri sa matematika. Tomo 1. Moscow, 2003.
CM. Nikolsky. Kurso ng pagsusuri sa matematika. Tomo 1. Moscow, 1983.

Tingnan din: