Ginagamit ang pamamaraan ng Gaussian para sa. Solusyon ng mga system ng mga linear equation ng Gaussian na pamamaraan. Ano ang slough

09.08.2021

Patuloy naming isinasaalang-alang ang mga system ng mga linear equation. Ang araling ito ang pangatlo sa paksa. Kung mayroon kang isang hindi malinaw na ideya kung ano ang isang sistema ng mga linear equation ay sa pangkalahatan, sa palagay mo ay isang teko, kung gayon inirerekumenda kong magsimula mula sa mga pangunahing kaalaman sa pahina Karagdagang kapaki-pakinabang na pag-aralan ang aralin.

Madali ang pamamaraan ni Gauss! Bakit? Ang bantog na dalub-agbilang ng Aleman na si Johann Karl Friedrich Gauss sa panahon ng kanyang buhay ay kinilala bilang pinakadakilang dalub-agbilang sa lahat ng oras, isang henyo at maging ang palayaw na "hari ng matematika". At lahat ng mapanlikha, tulad ng alam mo, ay simple! Sa pamamagitan ng paraan, hindi lamang ang mga sipsip, kundi pati na rin ang mga henyo ay binabayaran para sa pera - Ang larawan ni Gauss ay nasa 10 perang papel ng Deutschmark (bago ipakilala ang euro), at si Gauss ay misteryosong ngiti sa mga Aleman mula sa ordinaryong mga selyo ng selyo.

Ang pamamaraan ng Gauss ay simple sa na ang kaalaman ng isang 5-grade na mag-aaral ay SAKTO upang makabisado ito. Dapat ay maaari kang magdagdag at magparami! Hindi nagkataon na madalas na isaalang-alang ng mga guro ang pamamaraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang sa mga elect ng matematika sa paaralan. Sa kabaligtaran, ang pamamaraan ng Gauss ang pinakamahirap para sa mga mag-aaral. Hindi nakakagulat - ang buong punto ay nasa pamamaraan, at susubukan kong sabihin sa iyo ang tungkol sa algorithm ng pamamaraan sa isang naa-access na form.

Una, systematize natin ang kaalaman tungkol sa mga system ng linear equation. Ang isang sistema ng mga linear equation ay maaaring:

1) Magkaroon ng isang natatanging solusyon. 2) Magkaroon ng walang katapusang maraming mga solusyon. 3) Walang mga solusyon (maging hindi pantay-pantay).

Ang pamamaraang Gaussian ay ang pinaka-makapangyarihang at maraming nalalaman tool para sa paghahanap ng solusyon kahit ano mga sistema ng mga linear equation. Tulad ng naaalala natin Panuntunan at pamamaraan ng matrix ng Cramer hindi angkop sa mga kaso kung saan ang system ay may walang katapusang maraming mga solusyon o hindi tugma. At ang pamamaraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang kahit papaano hahantong sa amin sa sagot! Sa araling ito, muling isasaalang-alang namin ang pamamaraan ng Gauss para sa kaso Blg 1 (ang tanging solusyon sa system), isang artikulo ang nakalaan para sa sitwasyon ng mga puntong Blg 2-3. Tandaan na ang algorithm ng pamamaraan mismo ay gumagana ng pareho sa lahat ng tatlong mga kaso.

Bumalik tayo sa pinakasimpleng system mula sa aralin Paano malutas ang isang sistema ng mga linear equation? at lutasin ito sa pamamaraang Gauss.

Sa unang yugto, kailangan mong magsulat pinalawak na system matrix:. Sa anong prinsipyo na nakasulat ang mga coefficients, sa palagay ko, lahat ay makakakita. Ang patayong bar sa loob ng matrix ay hindi nagdadala ng anumang kahulugan sa matematika - ito ay isang salungguhit lamang para sa kadalian ng disenyo.

sanggunian : Inirerekumenda kong tandaan mga tuntunin linear algebra. System Matrix Ang isang matrix ay binubuo lamang ng mga coefficients na may hindi kilalang, sa halimbawang ito ang matrix ng system: . Pinalawak na system matrix - ito ang parehong matrix ng system kasama ang isang haligi ng mga libreng kasapi, sa kasong ito: ... Ang alinman sa mga matrice ay maaaring tawaging simpleng isang matrix para sa kabutihan.

Matapos maisulat ang pinalawak na matrix ng system, kinakailangan na magsagawa ng ilang mga aksyon kasama nito, na tinatawag din mga pagbabagong elementarya.

Mayroong mga sumusunod na elementarya na pagbabago:

1) Mga kuwerdas mga matrice maaari ayusin muli mga lugar. Halimbawa, sa isinasaalang-alang ang matrix, maaari mong walang sakit na muling ayusin ang una at pangalawang mga hilera:

2) Kung ang matrix ay naglalaman ng (o lilitaw) na proporsyonal (bilang isang espesyal na kaso - pareho) na mga hilera, pagkatapos ay sumusunod ito tanggalin mula sa matrix ang lahat ng mga hilera na ito maliban sa isa. Isaalang-alang, halimbawa, ang matrix ... Sa matrix na ito, ang huling tatlong mga hilera ay proporsyonal, kaya sapat na upang iwanang isa lamang sa mga ito: .

3) Kung ang isang hilera na zero ay lumitaw sa matrix sa panahon ng mga pagbabago, sumusunod din ito tanggalin... Hindi ako gumuhit, syempre, ang zero line ay ang linya kung saan isang zero.

4) Ang hilera ng matrix ay maaaring maging dumami (hatiin) sa anumang numero, nonzero... Isaalang-alang, halimbawa, isang matrix. Narito ipinapayong hatiin ang unang linya sa pamamagitan ng –3, at ang pangalawang linya upang i-multiply ng 2: ... Napaka kapaki-pakinabang ng pagkilos na ito dahil pinapasimple nito ang karagdagang mga pagbabagong-anyo ng matrix.

5) Ang pagbabago na ito ang pinakamahirap, ngunit sa katunayan, wala ring kumplikado. Sa hilera ng matrix, maaari mo magdagdag ng isa pang string na pinarami ng isang numero nonzero Isaalang-alang ang aming matrix mula sa isang praktikal na halimbawa:. Una, ilalarawan ko ang conversion nang mahusay. I-multiply ang unang linya sa pamamagitan ng –2: , at sa pangalawang linya idagdag ang unang linya na pinarami ng –2: ... Ngayon ang unang linya ay maaaring hatiin "pabalik" ng –2:. Tulad ng nakikita mo, ang linya na ADD LEE – hindi nagbago. Ay laging binabago ang linya KUNG SAAN ANG Dagdag UT.

Sa pagsasagawa, siyempre, hindi nila inilalarawan sa ganoong detalye, ngunit sumulat ng mas maikli: Muli: sa pangalawang linya idinagdag ang unang linya na pinarami ng –2... Ang string ay kadalasang pinarami nang pasalita o sa isang draft, habang ang mental na kurso ng mga kalkulasyon ay isang bagay na tulad nito:

"Isusulat ko muli ang matrix at muling isulat ang unang linya: »

“Una ang haligi. Sa ilalim, kailangan kong makakuha ng zero. Samakatuwid, pinarami ko ang yunit sa tuktok ng –2 :, at idaragdag ang una sa pangalawang linya: 2 + (–2) = 0. Isulat ko ang resulta sa pangalawang linya: »

"Ngayon para sa pangalawang haligi. Sa itaas –1 pinarami ng –2:. Idagdag ko ang una sa pangalawang linya: 1 + 2 = 3. Isulat ko ang resulta sa pangalawang linya: »

"At ang pangatlong haligi. Sa itaas –5 pinarami ng –2:. Idagdag ko ang una sa pangalawang linya: –7 + 10 = 3. Isulat ko ang resulta sa pangalawang linya: »

Mangyaring, maingat na maunawaan ang halimbawang ito at maunawaan ang sunud-sunod na pagkalkula ng algorithm, kung naiintindihan mo ito, kung gayon ang pamamaraan na Gauss ay praktikal na "nasa iyong bulsa". Ngunit, syempre, gaganahan kami sa pagbabagong ito.

Ang mga pagbabago sa elementarya ay hindi binabago ang solusyon ng system ng mga equation

! Pansin: itinuturing na manipulasyon hindi maaaring gamitin, kung ikaw ay inaalok ng isang gawain kung saan ang mga matrices ay ibinibigay "sa kanilang sarili". Halimbawa, sa "klasikong" mga aksyon na may matrices Sa anumang kaso ay hindi mo dapat muling ayusin ang isang bagay sa loob ng mga matris! Balikan natin ang ating system. Ito ay praktikal na pinaghiwalay.

Isusulat namin ang pinalawig na matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, bawasan ito sa stepped view:

(1) Ang unang linya na pinarami ng –2 ay idinagdag sa pangalawang linya. At muli: bakit ang unang linya ay eksaktong pinarami ng –2? Upang makakuha ng zero sa ilalim, na nangangahulugang tanggalin ang isang variable sa pangalawang linya.

(2) Hatiin ang pangalawang hilera ng 3.

Ang layunin ng mga pagbabago sa elementarya – dalhin ang matrix sa isang stepped form: ... Sa disenyo ng takdang-aralin, ang "hagdan" ay minarkahan ng isang simpleng lapis, at ang mga numero na matatagpuan sa "mga hakbang" ay bilugan. Ang terminong "uri ng hakbang" mismo ay hindi buong teoretikal, sa pang-agham at pang-edukasyon na panitikan na ito ay madalas na tinatawag pagtingin ng trapezoidal o tatsulok na pagtingin.

Bilang isang resulta ng mga pagbabago sa elementarya, nakuha namin katumbas orihinal na sistema ng mga equation:

Ngayon ang system ay kailangang "untwisted" sa kabaligtaran na direksyon - mula sa ibaba hanggang sa itaas, ang prosesong ito ay tinawag paatras na pamamaraan ng Gaussian.

Sa mas mababang equation, mayroon kaming isang handa nang resulta:

Isaalang-alang ang unang equation ng system at palitan dito ang alam na halagang "laro":

Isaalang-alang natin ang pinakakaraniwang sitwasyon kapag ang pamamaraan ng Gauss ay nangangailangan ng paglutas ng isang sistema ng tatlong mga linear equation na may tatlong hindi alam.

Halimbawa 1

Malutas ang system ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraan ng Gauss:

Isulat natin ang pinalawig na matrix ng system:

Ngayon ay agad kong iguhit ang resulta na sasapitin namin sa kurso ng solusyon: At muli, ang aming layunin ay upang dalhin ang matrix sa isang stepped form gamit ang mga elementarya na pagbabago. Saan sisimulan ang aksyon?

Una, tinitingnan namin ang tuktok na kaliwang numero: Dapat ay palaging nandito ito yunit... Sa pangkalahatan, ang -1 ay magiging maayos (at kung minsan iba pang mga numero), ngunit sa paanuman nangyari ito nang ayon sa kaugalian na ang isang yunit ay karaniwang inilalagay doon. Paano mag-ayos ng isang yunit? Tinitingnan namin ang unang haligi - mayroon kaming isang handa nang yunit! Unang pagbabago: palitan ang una at pangatlong linya:

Ngayon ang unang linya ay mananatiling hindi nagbabago hanggang sa katapusan ng solusyon.... Ngayon ayos lang.

Ang yunit sa kaliwang itaas ay naayos. Ngayon kailangan mong makakuha ng mga zero sa mga lugar na ito:

Nakukuha namin ang mga zero sa tulong lamang ng "mahirap" na pagbabago. Una, makitungo kami sa pangalawang linya (2, –1, 3, 13). Ano ang dapat gawin upang makakuha ng zero sa unang posisyon? Kailangan sa pangalawang linya idagdag ang unang linya na pinarami ng –2... Sa itak o sa isang draft, i-multiply ang unang linya sa pamamagitan ng –2: (–2, –4, 2, –18). At patuloy naming isinasagawa (muli sa pag-iisip o sa isang draft) na karagdagan, sa pangalawang linya idagdag ang unang linya, na pinarami ng –2:

Isusulat namin ang resulta sa pangalawang linya:

Nakikitungo namin ang pangatlong linya sa parehong paraan (3, 2, –5, –1). Upang makakuha ng zero sa unang posisyon, kailangan mo sa pangatlong linya idagdag ang unang linya na pinarami ng –3... Sa itak o sa isang draft, i-multiply ang unang linya sa pamamagitan ng –3: (–3, –6, 3, –27). AT sa pangatlong linya idagdag ang unang linya na pinarami ng –3:

Isusulat namin ang resulta sa pangatlong linya:

Sa pagsasagawa, ang mga pagkilos na ito ay karaniwang ginagawa nang pasalita at naitala sa isang hakbang:

Hindi mo kailangang bilangin ang lahat nang sabay-sabay at sabay... Ang pagkakasunud-sunod ng mga kalkulasyon at "pagsulat" ng mga resulta pare-pareho at kadalasang ganito: una, isinusulat namin muli ang unang linya, at pinagsama namin ang ating sarili sa palihim - SEQUENTIAL at ATTENTIVELY:
At tinalakay ko na ang kurso sa pag-iisip ng mga kalkulasyon mismo sa itaas.

Sa halimbawang ito, madaling gawin ito, hinahati namin ang pangalawang linya sa pamamagitan ng –5 (dahil ang lahat ng mga numero ay nahahati sa 5 nang walang natitirang bahagi). Sa parehong oras, hinati namin ang pangatlong linya sa pamamagitan ng –2, sapagkat mas maliit ang mga numero, mas madali ang solusyon:

Sa huling yugto ng mga pagbabago sa elementarya, kailangan mong makakuha ng isa pang zero dito:

Para dito sa pangatlong linya idagdag ang pangalawang linya na pinarami ng –2:
Subukang i-parse ang pagkilos na ito mismo - itak na i-multiply ang pangalawang linya sa pamamagitan ng –2 at idagdag.

Ang huling ginawang pagkilos ay ang hairstyle ng resulta, hatiin ang ikatlong linya sa 3.

Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, isang katumbas na paunang sistema ng mga linear equation ang nakuha: Malamig.

Ngayon ang pabaliktad ng Gaussian na pamamaraan ay naglalaro. Ang mga equation na "magpahinga" mula sa ibaba hanggang sa itaas.

Sa pangatlong equation, mayroon na kaming isang handa nang resulta:

Tinitingnan namin ang pangalawang equation: Ang kahulugan ng "z" ay alam na, kaya:

At sa wakas, ang unang equation: Ang "Yamek" at "z" ay kilala, ang bagay ay maliit:

Sagot:

Tulad ng napansin nang maraming beses, para sa anumang sistema ng mga equation posible at kinakailangan upang suriin ang nahanap na solusyon, sa kabutihang palad, madali at mabilis ito.

Halimbawa 2

Ito ay isang sample na do-it-yourself, isang sample ng pagtatapos, at ang sagot sa dulo ng tutorial.

Dapat pansinin na ang iyong desisyon kurso maaaring hindi sumabay sa aking desisyon, at ito ay isang tampok ng pamamaraan ng Gauss... Ngunit ang mga sagot ay dapat na pareho!

Halimbawa 3

Malutas ang isang sistema ng mga linear equation ng pamamaraan ng Gaussian

Tumingin kami sa kaliwang itaas na "hakbang". Dapat may unit tayo doon. Ang problema ay wala sa mga unang haligi, kaya't ang pag-aayos ng mga hilera ay hindi malulutas ang anuman. Sa ganitong mga kaso, ang yunit ay kailangang maisaayos gamit ang isang elementarya na pagbabago. Karaniwan itong maaaring magawa sa maraming paraan. Ginawa ko ito: (1) Sa unang linya idagdag ang pangalawang linya na pinarami ng -1... Iyon ay, pinarami namin ng itak ang pangalawang linya ng –1 at idinagdag ang una at pangalawang linya, habang ang pangalawang linya ay hindi nagbago.

Ngayon sa kaliwang tuktok na "minus one", na ganap na nababagay sa amin. Ang sinumang nais na makakuha ng +1 ay maaaring magsagawa ng isang karagdagang paggalaw ng katawan: paramihin ang unang linya sa pamamagitan ng –1 (baguhin ang tanda nito).

(2) Ang unang linya na pinarami ng 5 ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang unang linya na pinarami ng 3 ay idinagdag sa pangatlong linya.

(3) Ang unang linya ay pinarami ng -1, sa prinsipyo, ito ay para sa kagandahan. Binago din namin ang pag-sign ng pangatlong linya at inilipat ito sa pangalawang lugar, sa gayon, sa pangalawang "hakbang, mayroon kaming kinakailangang yunit.

(4) Ang pangalawang hilera, pinarami ng 2, ay idinagdag sa pangatlong hilera.

(5) Ang pangatlong linya ay hinati sa 3.

Ang isang masamang pag-sign na nagpapahiwatig ng isang error sa mga kalkulasyon (mas madalas - isang typo) ay ang "masamang" ilalim na linya. Iyon ay, kung sa ibaba nakuha namin ang isang bagay tulad ng, at, nang naaayon, , pagkatapos ay may mataas na antas ng posibilidad na maipagtalo na ang isang pagkakamali ay nagawa sa kurso ng mga pagbabagong elementarya.

Siningil namin ang reverse stroke, sa disenyo ng mga halimbawa, ang system mismo ay madalas na hindi muling nasusulat, at ang mga equation "ay direktang kinuha mula sa ibinigay na matrix." Ang reverse ilipat, ipaalala ko sa iyo, gumagana mula sa ibaba hanggang. Oo, narito ang regalo:

Sagot: .

Halimbawa 4

Malutas ang isang sistema ng mga linear equation ng pamamaraan ng Gaussian

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon, medyo mas kumplikado ito. Okay lang kung may maguluhan. Kumpletuhin ang solusyon at disenyo ng sample sa pagtatapos ng tutorial. Ang iyong solusyon ay maaaring naiiba sa aking solusyon.

Sa huling bahagi, isasaalang-alang namin ang ilan sa mga tampok ng Gauss algorithm. Ang unang tampok ay kung minsan ang ilang mga variable ay nawawala sa mga equation ng system, halimbawa: Paano isulat nang tama ang pinalawak na system matrix? Pinag-usapan ko na ang sandaling ito sa aralin. Panuntunan ni Cramer. Paraan ng Matrix... Sa pinalawig na matrix ng system, inilalagay namin ang mga zero sa lugar ng mga nawawalang variable: Sa pamamagitan ng paraan, ito ay isang medyo madaling halimbawa, dahil mayroon nang isang zero sa unang haligi, at mayroong mas kaunting mga transformasyong elementarya na naisagawa.

Ang pangalawang tampok ay ang mga sumusunod. Sa lahat ng isinasaalang-alang na halimbawa, inilagay namin ang alinman sa –1 o +1 sa "mga hakbang". Maaari bang nandiyan ang iba pang mga numero? Sa ilang mga kaso, kaya nila. Isaalang-alang ang system: .

Dito sa kaliwang itaas na "hakbang" mayroon kaming dalawa. Ngunit napansin namin ang katotohanan na ang lahat ng mga numero sa unang haligi ay nahahati ng 2 nang walang natitirang bahagi - at ang dalawa pa at anim. At ang deuce sa kaliwang tuktok ay babagay sa amin! Sa unang hakbang, kailangan mong isagawa ang mga sumusunod na pagbabago: idagdag ang unang linya na pinarami ng –1 sa pangalawang linya; sa pangatlong linya idagdag ang unang linya na pinarami ng –3. Ito ay magbibigay sa amin ng nais na mga zero sa unang haligi.

O isa pang kondisyon na halimbawa: ... Narito ang tatlo sa pangalawang "hakbang" na nababagay din sa amin, dahil ang 12 (ang lugar kung saan kailangan naming makakuha ng zero) ay nahahati ng 3 nang walang natitirang. Kinakailangan na isagawa ang sumusunod na pagbabago: sa pangatlong linya idagdag ang pangalawang linya na pinarami ng –4, bilang isang resulta kung saan makukuha ang zero na kailangan natin.

Ang pamamaraan ni Gauss ay pandaigdigan, ngunit mayroong isang kakaibang katangian. Tiwala kang matututunan kung paano malutas ang mga system sa pamamagitan ng iba pang mga pamamaraan (pamamaraan ng Cramer, pamamaraan ng matrix) nang literal sa unang pagkakataon - mayroong isang napaka-matibay na algorithm. Ngunit upang maging tiwala ka sa pamamaraan ng Gauss, dapat mong "punan ang iyong kamay" at lutasin ang hindi bababa sa 5-10 sampung mga system. Samakatuwid, sa una, ang pagkalito, mga pagkakamali sa mga kalkulasyon ay posible, at walang kakaiba o trahedya dito.

Maulang tag-lagas ng panahon sa labas ng bintana .... Samakatuwid, para sa lahat, isang mas kumplikadong halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 5

Malutas ang system ng 4 na mga linear equation na may apat na hindi alam ng pamamaraang Gauss.

Ang nasabing gawain sa pagsasanay ay hindi gaanong bihirang. Sa palagay ko na kahit na ang isang teko na lubos na pinag-aralan ang pahinang ito, ang algorithm para sa paglutas ng gayong sistema ay intuitively malinaw. Talaga, ang lahat ay pareho - mayroong maraming mga aksyon.

Ang mga kaso kung ang sistema ay walang mga solusyon (hindi pantay-pantay) o walang katapusan na maraming mga solusyon ay isinasaalang-alang sa aralin Hindi tugma ang mga system at system na may isang karaniwang solusyon... Ang isinasaalang-alang na algorithm ng pamamaraan ng Gauss ay maaari ding maayos doon.

Nagaasam ng iyong tagumpay!

Mga Solusyon at Sagot:

Halimbawa 2: Solusyon : Isulat natin ang pinalawig na matrix ng system at, gamit ang mga transformasyong elementarya, dalhin ito sa isang stepwise form.
Ginawa ang mga pagbabagong elementarya: (1) Ang unang linya na pinarami ng –2 ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang unang linya na pinarami ng -1 ay idinagdag sa pangatlong linya. Pansin! Dito maaaring nakakaakit na ibawas ang una mula sa pangatlong linya, lubos kong pinanghihinaan ang pagbabawas - ang panganib ng isang error ay lalong nadagdagan. Add up lang! (2) Ang tanda ng pangalawang linya ay binago (pinarami ng –1). Ang ikalawa at pangatlong linya ay napalitan. tandaan na sa "mga hakbang" ay nasiyahan kami sa hindi lamang isa, kundi pati na rin ang –1, na mas madali pa. (3) Ang pangalawang hilera ay idinagdag sa pangatlong hilera, pinarami ng 5. (4) Ang tanda ng pangalawang linya ay binago (pinarami ng –1). Ang pangatlong linya ay hinati ng 14.

Baligtarin:

Sagot : .

Halimbawa 4: Solusyon : Isulat natin ang pinalawig na matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang hakbang na form:

Ginawa ang mga conversion: (1) Ang pangalawa ay idinagdag sa unang linya. Kaya, ang nais na yunit ay nakaayos sa kaliwang itaas na "hakbang". (2) Ang unang linya na pinarami ng 7 ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang unang linya na pinarami ng 6 ay idinagdag sa pangatlong linya.

Ang ikalawang hakbang ay lumalala , "Mga Kandidato" para dito ang mga bilang 17 at 23, at kailangan namin ang alinman sa isa o -1. Ang mga pagbabago (3) at (4) ay naglalayong makuha ang nais na yunit (3) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa pangatlong linya, pinarami ng –1. (4) Ang pangatlong linya ay idinagdag sa pangalawang linya, pinarami ng –3. Ang kinakailangang bagay sa ikalawang hakbang ay natanggap . (5) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa pangatlong linya, pinarami ng 6. (6) Ang pangalawang linya ay pinarami ng -1, ang pangatlong linya ay hinati ng -83.

Baligtarin:

Sagot :

Halimbawa 5: Solusyon : Isulat natin ang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang hakbang na form:

Ginawa ang mga conversion: (1) Ang una at pangalawang linya ay napalitan. (2) Ang unang linya na pinarami ng –2 ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang unang linya na pinarami ng –2 ay idinagdag sa pangatlong linya. Ang unang linya na pinarami ng –3 ay idinagdag sa ika-apat na linya. (3) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa pangatlong linya, pinarami ng 4. Ang pangalawang linya ay idinagdag sa pang-apat na linya, pinarami ng –1. (4) Ang palatandaan ng pangalawang linya ay binago. Ang ika-apat na linya ay hinati ng 3 at inilagay sa lugar ng pangatlong linya. (5) Ang pangatlong linya na pinarami ng –5 ay idinagdag sa ika-apat na linya.

Baligtarin:

Sagot :

Ang pamamaraang Gauss ay iminungkahi ng tanyag na dalub-agbilang sa Aleman na si Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855) at isa sa mga pinaka maraming nalalaman na pamamaraan para sa paglutas ng mga SLAE. Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay sa pamamagitan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi kilalang, ang ibinigay na system ay nagiging isang stepwise (sa partikular, tatsulok) na system, na katumbas ng naibigay. Sa praktikal na solusyon ng problema, ang pinalawig na matrix ng system sa tulong ng mga elementarya na pagbabago sa mga hilera nito ay nabawasan sa isang stepwise form. Dagdag dito, ang lahat ng hindi kilala ay matatagpuan sunud-sunod, simula sa ibaba hanggang sa itaas.

Ang prinsipyo ng pamamaraan ng Gauss

Kasama sa pamamaraang Gauss ang direktang (binabawasan ang pinalawig na matrix sa isang stepped form, iyon ay, pagkuha ng mga zero sa ilalim ng pangunahing dayagonal) at kabaligtaran (pagkuha ng mga zero sa pangunahing diagonal ng pinalawig na matrix) na mga paggalaw. Ang pasulong na paglipat ay tinatawag na pamamaraan ng Gauss, ang pabalik ay ang pamamaraan ng Gauss-Jordan, na naiiba mula sa una lamang sa pagkakasunud-sunod ng pag-aalis ng mga variable.

Ang pamamaraan ng Gauss ay mainam para sa paglutas ng mga system na naglalaman ng higit sa tatlong mga linear equation, para sa paglutas ng mga system ng mga equation na hindi quadratic (na hindi masasabi tungkol sa pamamaraang Cramer at pamamaraan ng matrix). Iyon ay, ang pamamaraan ng Gauss ay ang pinaka maraming nalalaman na pamamaraan para sa paghahanap ng isang solusyon sa anumang sistema ng mga linear equation; gumagana ito sa kaso kapag ang system ay may walang katapusang maraming mga solusyon o hindi naaayon.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga sistema ng mga equation

Halimbawa

Ehersisyo. Lutasin ang SLAE sa pamamagitan ng Gaussian na pamamaraan.

Solusyon Isulat natin ang pinalawig na matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago sa mga hilera nito, dalhin ang matrix na ito sa isang stepped form (pasulong na paglipat) at pagkatapos ay isagawa ang pabalik na paglipat ng pamamaraan ng Gauss (gumawa ng mga zero sa itaas ng pangunahing dayagonal). Una, binago namin ang una at pangalawang linya upang ang elemento ay katumbas ng 1 (ginagawa namin ito upang gawing simple ang mga kalkulasyon):

Hatiin ang lahat ng mga elemento ng pangatlong linya ng dalawa (o, alin ang pareho, i-multiply ng)

Ibawas ang pangalawang linya mula sa pangatlong linya, pinarami ng 3:

Pinaparami ang pangatlong hilera, nakukuha namin ang:

Baligtarin natin ngayon ang pamamaraan ng Gauss (ang pamamaraan ng Gassou-Jordan), iyon ay, gumawa kami ng mga zero sa itaas ng pangunahing dayagonal. Magsimula tayo sa mga elemento ng pangatlong haligi. Kinakailangan na i-zero ang elemento, para dito ibabawas namin ang pangatlo mula sa pangalawang linya.

Una, systematize natin ang kaalaman tungkol sa mga system ng linear equation. Ang isang sistema ng mga linear equation ay maaaring:

1) Magkaroon ng isang natatanging solusyon.
2) Magkaroon ng walang katapusang maraming mga solusyon.
3) Walang mga solusyon (maging hindi pantay-pantay).

Bumalik tayo sa pinakasimpleng system mula sa aralin Paano malutas ang isang sistema ng mga linear equation?
at lutasin ito sa pamamaraang Gauss.

Sa unang yugto, kailangan mong magsulat pinalawak na system matrix:
... Sa anong prinsipyo na nakasulat ang mga coefficients, sa palagay ko, lahat ay makakakita. Ang patayong bar sa loob ng matrix ay hindi nagdadala ng anumang kahulugan sa matematika - ito ay isang salungguhit lamang para sa kadalian ng disenyo.

sanggunian :Inirerekumenda kong tandaan mga tuntunin linear algebra. System Matrix Ay isang matrix na binubuo lamang ng mga coefficients na may hindi kilalang, sa halimbawang ito ang matrix ng system: Pinalawak na system matrix- ito ang parehong matrix ng system kasama ang isang haligi ng mga libreng kasapi, sa kasong ito: Ang alinman sa mga matrice ay maaaring tawaging simpleng isang matrix para sa kabutihan.

Matapos maisulat ang pinalawak na matrix ng system, kinakailangan na magsagawa ng ilang mga aksyon kasama nito, na tinatawag din mga pagbabagong elementarya.

Mayroong mga sumusunod na elementarya na pagbabago:

1) Mga kuwerdas mga matrice maaari ayusin muli mga lugar. Halimbawa, sa isinasaalang-alang ang matrix, maaari mong walang sakit na muling ayusin ang una at pangalawang mga hilera:

2) Kung ang matrix ay naglalaman ng (o lilitaw) proporsyonal (bilang isang espesyal na kaso - pareho) na mga hilera, pagkatapos ay sumusunod ito tanggalin mula sa matrix ang lahat ng mga hilera na ito maliban sa isa. Isaalang-alang, halimbawa, ang matrix ... Sa matrix na ito, ang huling tatlong mga hilera ay proporsyonal, kaya sapat na upang iwanang isa lamang sa mga ito: .

3) Kung ang isang hilera na zero ay lumitaw sa matrix sa panahon ng mga pagbabago, sumusunod din ito tanggalin... Hindi ako gumuhit, syempre, ang zero line ay ang linya kung saan isang zero.

Sa pagsasagawa, siyempre, hindi nila inilalarawan sa ganoong detalye, ngunit sumulat ng mas maikli:

Muli: sa pangalawang linya idinagdag ang unang linya na pinarami ng –2... Ang string ay kadalasang pinarami nang pasalita o sa isang draft, habang ang mental na kurso ng mga kalkulasyon ay isang bagay na tulad nito:

"Isusulat ko muli ang matrix at muling isulat ang unang linya: »

"Ngayon para sa pangalawang haligi. Sa itaas –1 pinarami ng –2:. Idagdag ko ang una sa pangalawang linya: 1 + 2 = 3. Isulat ko ang resulta sa pangalawang linya: »

"At ang pangatlong haligi. Sa itaas –5 pinarami ng –2:. Idagdag ko ang una sa pangalawang linya: –7 + 10 = 3. Isulat ko ang resulta sa pangalawang linya: »

Ang mga pagbabago sa elementarya ay hindi binabago ang solusyon ng system ng mga equation

! Pansin: isinasaalang-alang ang mga manipulasyon hindi maaaring gamitin, kung ikaw ay inaalok ng isang gawain kung saan ang mga matrices ay ibinibigay "sa kanilang sarili". Halimbawa, sa "klasikong" mga aksyon na may matrices Sa anumang kaso ay hindi mo dapat muling ayusin ang isang bagay sa loob ng mga matris!

Balikan natin ang ating system. Ito ay praktikal na pinaghiwalay.

Isusulat namin ang pinalawig na matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, bawasan ito sa stepped view:

(2) Hatiin ang pangalawang hilera ng 3.

Bilang isang resulta ng mga pagbabago sa elementarya, nakuha namin katumbas orihinal na sistema ng mga equation:

Ngayon ang system ay kailangang "untwisted" sa kabaligtaran na direksyon - mula sa ibaba hanggang sa itaas, ang prosesong ito ay tinawag paatras na pamamaraan ng Gaussian.

Sa mas mababang equation, mayroon kaming isang handa nang resulta:

Isaalang-alang ang unang equation ng system at palitan dito ang alam na halagang "laro":

Isaalang-alang natin ang pinakakaraniwang sitwasyon kapag ang pamamaraan ng Gauss ay nangangailangan ng paglutas ng isang sistema ng tatlong mga linear equation na may tatlong hindi alam.

Halimbawa 1

Malutas ang system ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraan ng Gauss:

Isulat natin ang pinalawig na matrix ng system:

Ngayon ay agad kong iguhit ang resulta na sasapitin namin sa kurso ng solusyon:

At muli, ang aming layunin ay upang dalhin ang matrix sa isang stepped form gamit ang mga elementarya na pagbabago. Saan sisimulan ang aksyon?

Una, tinitingnan namin ang tuktok na kaliwang numero:

Dapat ay palaging nandito ito yunit... Sa pangkalahatan, ang -1 ay magiging maayos (at kung minsan iba pang mga numero), ngunit sa paanuman nangyari ito nang ayon sa kaugalian na ang isang yunit ay karaniwang inilalagay doon. Paano mag-ayos ng isang yunit? Tinitingnan namin ang unang haligi - mayroon kaming isang handa nang yunit! Unang pagbabago: palitan ang una at pangatlong linya:

Ngayon ang unang linya ay mananatiling hindi nagbabago hanggang sa katapusan ng solusyon.... Ngayon ayos lang.

Ang yunit sa kaliwang itaas ay naayos. Ngayon kailangan mong makakuha ng mga zero sa mga lugar na ito:

Isusulat namin ang resulta sa pangalawang linya:

Isusulat namin ang resulta sa pangatlong linya:

Sa pagsasagawa, ang mga pagkilos na ito ay karaniwang ginagawa nang pasalita at naitala sa isang hakbang:

Hindi mo kailangang bilangin ang lahat nang sabay-sabay at sabay... Ang pagkakasunud-sunod ng mga kalkulasyon at "pagsulat" ng mga resulta pare-pareho at kadalasang ganito: una, isinusulat namin muli ang unang linya, at pinagsama namin ang ating sarili sa palihim - SEQUENTIAL at ATTENTIVELY:

At tinalakay ko na ang kurso sa pag-iisip ng mga kalkulasyon mismo sa itaas.

Sa huling yugto ng mga pagbabago sa elementarya, kailangan mong makakuha ng isa pang zero dito:

Para dito sa pangatlong linya idagdag ang pangalawang linya na pinarami ng –2:

Subukang i-parse ang pagkilos na ito mismo - itak na i-multiply ang pangalawang linya sa pamamagitan ng –2 at idagdag.

Ang huling ginawang pagkilos ay ang hairstyle ng resulta, hatiin ang ikatlong linya sa 3.

Bilang resulta ng mga pagbabagong elementarya, isang katumbas na paunang sistema ng mga linear equation ang nakuha:

Malamig.

Ngayon ang pabaliktad ng Gaussian na pamamaraan ay naglalaro. Ang mga equation na "magpahinga" mula sa ibaba hanggang sa itaas.

Sa pangatlong equation, mayroon na kaming isang handa nang resulta:

Tinitingnan namin ang pangalawang equation: Ang kahulugan ng "z" ay alam na, kaya:

At sa wakas, ang unang equation: Ang "Yamek" at "z" ay kilala, ang bagay ay maliit:

Sagot:

Tulad ng napansin nang maraming beses, para sa anumang sistema ng mga equation posible at kinakailangan upang suriin ang nahanap na solusyon, sa kabutihang palad, madali at mabilis ito.

Halimbawa 2

Ito ay isang sample na do-it-yourself, isang sample ng pagtatapos, at ang sagot sa dulo ng tutorial.

Dapat pansinin na ang iyong desisyon kurso maaaring hindi sumabay sa aking desisyon, at ito ay isang tampok ng pamamaraan ng Gauss... Ngunit ang mga sagot ay dapat na pareho!

Halimbawa 3

Malutas ang isang sistema ng mga linear equation ng pamamaraan ng Gaussian

Isulat natin ang pinalawig na matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang hakbang na form:

Tumingin kami sa kaliwang itaas na "hakbang". Dapat may unit tayo doon. Ang problema ay wala sa mga unang haligi, kaya't ang pag-aayos ng mga hilera ay hindi malulutas ang anuman. Sa ganitong mga kaso, ang yunit ay kailangang maisaayos gamit ang isang elementarya na pagbabago. Karaniwan itong maaaring magawa sa maraming paraan. Ginawa ko ito:
(1) Sa unang linya idagdag ang pangalawang linya na pinarami ng -1... Iyon ay, pinarami namin ng itak ang pangalawang linya ng –1 at idinagdag ang una at pangalawang linya, habang ang pangalawang linya ay hindi nagbago.

(2) Ang unang linya na pinarami ng 5 ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang unang linya na pinarami ng 3 ay idinagdag sa pangatlong linya.

(4) Ang pangalawang hilera, pinarami ng 2, ay idinagdag sa pangatlong hilera.

(5) Ang pangatlong linya ay hinati sa 3.

Sagot: .

Halimbawa 4

Malutas ang isang sistema ng mga linear equation ng pamamaraan ng Gaussian

Sa huling bahagi, isasaalang-alang namin ang ilan sa mga tampok ng Gauss algorithm.
Ang unang tampok ay kung minsan ang ilang mga variable ay nawawala sa mga equation ng system, halimbawa:

Paano isulat nang tama ang pinalawak na system matrix? Pinag-usapan ko na ang sandaling ito sa aralin. Panuntunan ni Cramer. Paraan ng Matrix... Sa pinalawig na matrix ng system, inilalagay namin ang mga zero sa lugar ng mga nawawalang variable:

Sa pamamagitan ng paraan, ito ay isang medyo madaling halimbawa, dahil mayroon nang isang zero sa unang haligi, at mayroong mas kaunting mga transformasyong elementarya na naisagawa.

Ang pamamaraan ni Gauss ay pandaigdigan, ngunit mayroong isang kakaibang katangian. Tiwala kang matututunan kung paano malutas ang mga system sa pamamagitan ng iba pang mga pamamaraan (pamamaraan ng Cramer, pamamaraan ng matrix) nang literal sa unang pagkakataon - mayroong isang napaka-matibay na algorithm. Ngunit upang maging kumpiyansa sa pamamaraan ng Gauss, dapat mong "punan ang iyong kamay" at lutasin ang hindi bababa sa 5-10 mga system. Samakatuwid, sa una, ang pagkalito, mga pagkakamali sa mga kalkulasyon ay posible, at walang kakaiba o trahedya dito.

Maulang tag-lagas ng panahon sa labas ng bintana .... Samakatuwid, para sa lahat, isang mas kumplikadong halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 5

Malutas ang system ng apat na mga linear equation na may apat na hindi alam ng pamamaraang Gauss.

Ang mga kaso kung ang sistema ay walang mga solusyon (hindi pantay-pantay) o walang katapusan na maraming mga solusyon ay isinasaalang-alang sa aralin Hindi tugma ang mga system at system na may isang karaniwang solusyon. Ang isinasaalang-alang na algorithm ng pamamaraan ng Gauss ay maaari ding maayos doon.

Nagaasam ng iyong tagumpay!

Mga Solusyon at Sagot:

Halimbawa 2: Solusyon : Isulat natin ang pinalawig na matrix ng system at, gamit ang mga transformasyong elementarya, dalhin ito sa isang stepwise form.

Ginawa ang mga pagbabagong elementarya:
(1) Ang unang linya na pinarami ng –2 ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang unang linya na pinarami ng -1 ay idinagdag sa pangatlong linya. Pansin! Dito maaaring nakakaakit na ibawas ang una mula sa pangatlong linya, lubos kong pinanghihinaan ang pagbabawas - ang panganib ng isang error ay lalong nadagdagan. Add up lang!
(2) Ang tanda ng pangalawang linya ay binago (pinarami ng –1). Ang ikalawa at pangatlong linya ay napalitan. tandaan na sa "mga hakbang" ay nasiyahan kami sa hindi lamang isa, kundi pati na rin ang –1, na mas madali pa.
(3) Ang pangalawang hilera ay idinagdag sa pangatlong hilera, pinarami ng 5.
(4) Ang tanda ng pangalawang linya ay binago (pinarami ng –1). Ang pangatlong linya ay hinati ng 14.

Baligtarin:

Sagot: .

Halimbawa 4: Solusyon : Isulat natin ang pinalawig na matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang hakbang na form:

Ginawa ang mga conversion:
(1) Ang pangalawa ay idinagdag sa unang linya. Kaya, ang nais na yunit ay nakaayos sa kaliwang itaas na "hakbang".
(2) Ang unang linya na pinarami ng 7 ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang unang linya na pinarami ng 6 ay idinagdag sa pangatlong linya.

Ang ikalawang hakbang ay lumalala , "Mga Kandidato" para dito ang mga bilang 17 at 23, at kailangan namin ang alinman sa isa o -1. Ang mga pagbabago (3) at (4) ay naglalayong makuha ang nais na yunit

(3) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa pangatlong linya, pinarami ng –1.
(4) Ang pangatlong linya ay idinagdag sa pangalawang linya, pinarami ng –3.
(3) Ang pangalawang linya ay idinagdag sa pangatlong linya, pinarami ng 4. Ang pangalawang linya ay idinagdag sa pang-apat na linya, pinarami ng –1.
(4) Ang palatandaan ng pangalawang linya ay binago. Ang ika-apat na linya ay hinati ng 3 at inilagay sa lugar ng pangatlong linya.
(5) Ang pangatlong linya na pinarami ng –5 ay idinagdag sa ika-apat na linya.

Baligtarin:

Ang isang sistema ng mga linear algebraic equation (SLAE) na may mga hindi alam ay ibinigay. Kinakailangan upang malutas ang sistemang ito: upang matukoy kung gaano karaming mga solusyon ang mayroon ito (wala, isa, o walang hanggan na marami), at kung mayroon itong hindi bababa sa isang solusyon, pagkatapos hanapin ang anuman sa mga ito.

Pormal ang gawain ay nakalagay tulad ng sumusunod: lutasin ang system:

kung saan ang mga coefficients at ay kilala, at ang mga variable - hindi kilalang hindi kilala.

Isang maginhawang representasyon ng matrix ng problemang ito:

saan ang matrix na binubuo ng mga coefficients at ang mga haligi ng vector ng taas.

Dapat pansinin na ang SLAE ay maaaring hindi higit sa larangan ng totoong mga numero, ngunit sa patlang modulo anumang numero, ibig sabihin:

- gagana rin ang Gauss algorithm para sa mga naturang system (ngunit ang kasong ito ay isasaalang-alang sa ibaba sa isang hiwalay na seksyon).

Gauss Algorithm

Mahigpit na pagsasalita, ang pamamaraang inilarawan sa ibaba ay wastong tinawag na pamamaraan ng pag-aalis ng Gauss-Jordan, dahil ito ay pagkakaiba-iba ng pamamaraang Gauss na inilarawan ng geodesist na si Wilhelm Jordan noong 1887 (dapat pansinin na si Wilhelm Jordan ay hindi ang may-akda ng teorama ng Jordan. sa mga kurba, walang algebra sa Jordan - lahat ng ito ay tatlong magkakaibang siyentipiko na may parehong pangalan, bilang karagdagan, tila, ang salin na "Jordan" ay mas tama, ngunit ang baybay na "Jordan" ay naayos na sa panitikang Ruso). Nakatutuwang pansin din na kasabay ng Jordan (at ayon sa ilang mga mapagkukunan kahit na mas maaga), ang algorithm na ito ay naimbento ni B.-I Clasen.

Pangunahing iskema

Sa madaling sabi, ang algorithm ay sunud-sunod na pagbubukod mga variable mula sa bawat equation hanggang sa isang variable lamang ang nananatili sa bawat equation. Kung, maaari nating masabi na ang Gauss-Jordan algorithm ay naghahangad na bawasan ang matrix ng system sa pagkakakilanlan matrix - pagkatapos ng lahat, pagkatapos ng pagiging matrix ay naging pagkakakilanlan, halata ang solusyon sa system - ang solusyon ay natatangi at ibinigay ng mga nagresultang mga coefficients.

Sa kasong ito, ang algorithm ay batay sa dalawang simpleng katumbas na pagbabago ng system: una, ang dalawang mga equation ay maaaring palitan, at pangalawa, ang anumang equation ay maaaring mapalitan ng isang linear na kombinasyon ng hilera na ito (na may isang nonzero coefficient) at iba pang mga hilera ( na may mga di-makatwirang mga coefficients).

Sa unang hakbang hinahati ng algorithm ng Gauss-Jordan ang unang hilera sa isang kadahilanan. Pagkatapos ang algorithm ay nagdaragdag ng unang hilera sa natitirang mga hilera na may tulad na mga coefficients na ang kanilang mga coefficients sa unang haligi ay nawala - para dito, malinaw naman, kapag idinagdag ang unang hilera sa -th, dapat itong i-multiply ng. Para sa bawat operasyon na may isang matrix (dibisyon ng isang numero, pagdaragdag ng isa pa sa isang hilera), ang mga kaukulang operasyon ay ginaganap kasama ang vector; sa isang kahulugan, kumikilos ito na parang ito ang ika-haligi ng matrix.

Bilang isang resulta, sa pagtatapos ng unang hakbang, ang unang haligi ng matrix ay magiging unit (ibig sabihin, maglalaman ito ng 1 sa unang hilera at mga zero sa natitira).

Katulad nito, ang ikalawang hakbang ng algorithm ay ginaganap, ngayon lamang ang pangalawang haligi at ang pangalawang hilera ay isinasaalang-alang: una, ang pangalawang hilera ay hinati sa, at pagkatapos ay ibawas mula sa lahat ng iba pang mga hilera na may tulad na mga koepisyent sa zero ang pangalawang haligi ng matrix

Paghanap ng elemento ng pivot (pivoting)

Siyempre, hindi kumpleto ang pamamaraan sa itaas. Gumagana lamang ito kung sa bawat hakbang ang elemento ay nonzero - kung hindi man ay hindi lamang namin makakamit ang pag-zero ng mga natitirang coefficients sa kasalukuyang haligi sa pamamagitan ng pagdaragdag ng ika-ika-hilera sa kanila.

Upang maisagawa ang algorithm sa mga ganitong kaso, mayroong isang proseso pagpili ng datum(sa English tinatawag itong "pivoting" sa isang salita). Ito ay binubuo sa ang katunayan na ang mga hilera at / o mga haligi ng matrix ay pinahintulutan upang ang isang numero ng nonzero ay lilitaw sa kinakailangang elemento.

Tandaan na ang permutasyon ng mga hilera ay mas madaling ipatupad sa isang computer kaysa sa permutasyon ng mga haligi: pagkatapos ng lahat, kapag nagpapalitan ng dalawang haligi ng ilang uri, kailangan mong tandaan na ang dalawang variable na ito ay nagpalitan ng mga lugar, kaya't pagkatapos, kapag naibalik ang sagot, maaari mong ibalik nang tama kung aling sagot ang nabibilang sa aling variable. ... Kapag nag-aayos ng mga string, hindi mo kailangang magsagawa ng anumang mga karagdagang pagkilos.

Sa kasamaang palad, para sa kawastuhan ng pamamaraan, isang linya lamang ang nagpapalitan (ang tinaguriang "bahagyang pivoting", taliwas sa "buong pivoting", kapag ang parehong mga hilera at haligi ay napalitan). Ngunit aling string ang dapat mong piliin na ipagpalit? At totoo bang ang paghahanap para sa isang elemento ng pivot ay dapat gawin lamang kapag ang kasalukuyang elemento ay zero?

Walang pangkalahatang sagot sa katanungang ito. Mayroong iba't ibang mga heuristics, ngunit ang pinaka-epektibo sa kanila (sa mga tuntunin ng pagiging simple at kahusayan) ay ito heuristic: ang pinakamalaking elemento sa ganap na halaga ay dapat kunin bilang isang elemento ng sanggunian, at kinakailangan upang maghanap para sa isang elemento ng sanggunian at makipagpalitan dito palagi, at hindi lamang kapag kinakailangan (ibig sabihin hindi lamang kapag).

Sa madaling salita, bago ipatupad ang -th phase ng Gauss-Jordan algorithm na may bahagyang pivoting heuristic, kinakailangang hanapin sa haligi ng ika-ng mga elemento na may mga indeks mula sa maximum na modulus, at palitan ang hilera ng sangkap na ito kasama ang ika-ika-hilera.

Una, papayagan ng heuristic na ito ang paglutas ng SLAE, kahit na sa panahon ng solusyon nangyayari na ang elemento. Pangalawa, at mahalaga, nagpapabuti ang heuristic na ito katatagan sa bilang ang algorithm ng Gauss-Jordan.

Nang walang heuristic na ito, kahit na ang sistema ay tulad ng sa bawat yugto gagana ang Gauss-Jordan algorithm, ngunit sa huli ang naiipon na error ay maaaring maging napakalaking na kahit para sa mga matrice ng laki tungkol sa error ay lalampas sa mismong sagot .

Mga degenerate na kaso

Kaya, kung nanatili tayo sa algorithm ng Gauss-Jordan na may bahagyang pivoting, pagkatapos, ito ay pinangangatwiran, kung ang sistema ay hindi rin nabulok (iyon ay, mayroon itong isang nonzero determinant, na nangangahulugang mayroon itong natatanging solusyon), kung gayon ang algorithm na inilarawan sa itaas ay ganap na gagana at darating sa isang unit matrix (ang katibayan nito, ibig sabihin, ang katotohanang ang isang nonzero pivot na elemento ay laging matatagpuan, ay hindi ibinigay dito).

Isaalang-alang ngayon pangkalahatang kaso- kailan at hindi kinakailangang pantay. Ipagpalagay na ang elemento ng pivot ay hindi natagpuan sa ika-limang hakbang. Nangangahulugan ito na sa haligi ng ika, ang lahat ng mga hilera na nagsisimula mula sa kasalukuyang naglalaman ng mga zero. Iginiit na sa kasong ito ang variable na ito ay hindi maaaring tukuyin, at independiyenteng variable(maaaring tumagal ng isang di-makatwirang halaga). Upang maipagpatuloy ng algorithm ng Gauss-Jordan ang gawain nito para sa lahat ng kasunod na mga variable, sa ganoong sitwasyon, kailangan mo lamang laktawan ang kasalukuyang haligi ng th nang hindi nadaragdagan ang bilang ng kasalukuyang hilera (maaari nating sabihin na halos tinatanggal namin ang ika haligi ng matrix).

Kaya, ang ilang mga variable sa proseso ng pagpapatakbo ng algorithm ay maaaring malaya. Ito ay malinaw na kapag ang bilang ng mga variable ay mas malaki kaysa sa bilang ng mga equation, kung gayon hindi bababa sa ang mga variable ay nahanap na malaya.

Sa pangkalahatan, kung hindi bababa sa isang independiyenteng variable ay matatagpuan, pagkatapos ay maaari itong tumagal ng isang di-makatwirang halaga, habang ang natitirang (umaasa) na mga variable ay maipapahayag sa pamamagitan nito. Nangangahulugan ito na kapag nagtatrabaho kami sa larangan ng totoong mga numero, ang system ay may posibilidad na walang katapusang maraming mga solusyon(kung isasaalang-alang namin ang isang SLAE modulo, kung gayon ang bilang ng mga solusyon ay magiging katumbas ng modulus na ito sa lakas ng bilang ng mga independiyenteng variable). Gayunpaman, dapat mag-ingat: dapat tandaan na kahit na natagpuan ang mga independiyenteng variable, gayunpaman ang SLAE maaaring wala talagang solusyon... Nangyayari ito kapag ang natitirang hindi naproseso na mga equation (ang mga hindi naabot ng algorithm ng Gauss-Jordan, ibig sabihin, ito ang mga equation na kung saan ang mga independiyenteng variable lamang ang mananatili) mayroong hindi bababa sa isang hindi term na libreng nonzero.

Gayunpaman, mas madaling suriin ito sa pamamagitan ng malinaw na pagpapalit ng nahanap na solusyon: magtalaga ng mga zero na halaga sa lahat ng mga independiyenteng variable, italaga ang mga nahanap na halaga sa mga umaasang variable, at palitan ang solusyong ito sa kasalukuyang SLAE.

Pagpapatupad

Ipakita sa amin dito ang pagpapatupad ng algorithm ng Gauss-Jordan na may bahagyang pivoting heuristic (ang pagpipilian ng elemento ng pivot bilang maximum sa haligi).

Ang system matrix mismo ay naipasa sa pag-input ng pagpapaandar. Ang huling haligi ng matrix ay, sa aming dating notasyon, ang haligi ng mga libreng koepisyent (ginagawa ito para sa kaginhawaan sa programa, dahil sa algorithm mismo, ang lahat ng mga operasyon na may mga libreng koepisyent ay inuulit ang operasyon sa matrix).

Ibinabalik ng pagpapaandar ang bilang ng mga solusyon ng system (, o) (ang kawalang-hanggan ay tinukoy sa code ng isang espesyal na pare-pareho, na maaaring itakda sa anumang malaking halaga). Kung hindi bababa sa isang solusyon ang umiiral, pagkatapos ay ibabalik ito sa isang vector.

int gauss (vector< vector< double >> a, vector< double >& ans) (int n = (int) a.size (); int m = (int) a [0] .laki () - 1; vector< int >< m && row< n; ++ col) { int sel = row; for (int i= row; i< n; ++ i) if (abs (a[ i] [ col] ) >abs (isang [sel] [col])) sel = i; kung (abs (isang [sel] [col])< EPS) continue ; for (int i= col; i<= m; ++ i) swap (a[ sel] [ i] , a[ row] [ i] ) ; where[ col] = row; for (int i= 0 ; i< n; ++ i) if (i ! = row) { double c = a[ i] [ col] / a[ row] [ col] ; for (int j= col; j<= m; ++ j) a[ i] [ j] - = a[ row] [ j] * c; } ++ row; } ans.assign (m, 0 ) ; for (int i= 0 ; i< m; ++ i) if (where[ i] ! = - 1 ) ans[ i] = a[ where[ i] ] [ m] / a[ where[ i] ] [ i] ; for (int i= 0 ; i< n; ++ i) { double sum = 0 ; for (int j= 0 ; j< m; ++ j) sum + = ans[ j] * a[ i] [ j] ; if (abs (sum - a[ i] [ m] ) >EPS) ibalik ang 0; ) para sa (int i = 0; i< m; ++ i) if (where[ i] == - 1 ) return INF; return 1 ; }

Sinusuportahan ng pagpapaandar ang dalawang mga payo - sa kasalukuyang haligi at sa kasalukuyang hilera.

Ang isang vector ay naka-set up din, kung saan, para sa bawat variable, nakasulat ito sa aling hilera dapat itong i-out (sa madaling salita, para sa bawat haligi, ang numero ng hilera ay nakasulat kung saan ang haligi na ito ay nonzero). Kailangan ang vector na ito dahil ang ilang mga variable ay maaaring hindi "matukoy" sa panahon ng solusyon (iyon ay, ito ay mga independiyenteng variable na maaaring italaga ng isang di-makatwirang halaga - halimbawa, sa ibinigay na pagpapatupad, ang mga ito ay mga zero).

Gumagamit ang pagpapatupad ng bahagyang diskarte sa pivoting, naghahanap ng isang string na may maximum na elemento ng modulo, at pagkatapos ay muling ayusin ang string na ito sa isang posisyon (kahit na ang isang malinaw na permutasyon ng mga string ay maaaring mapalitan ng pagpapalit ng dalawang mga indeks sa ilang mga array, sa pagsasagawa ay hindi ito bibigyan isang tunay na pakinabang, dahil ang mga palitan ay nasayang ang operasyon).

Sa pagpapatupad, alang-alang sa pagiging simple, ang kasalukuyang hilera ay hindi nahahati ng elemento ng pivot - upang, bilang isang resulta, sa pagtatapos ng operasyon ng algorithm, ang matrix ay hindi magiging solong, ngunit dayagonal (gayunpaman, tila, paghati ang hilera sa pamamagitan ng elemento ng pivot ay ginagawang posible upang medyo bawasan ang mga nagresultang mga error).

Matapos maghanap ng isang solusyon, ito ay pinalitan pabalik sa matrix upang suriin kung ang system ay may hindi bababa sa isang solusyon o wala. Kung matagumpay ang pagpapatunay ng nahanap na solusyon, ibabalik ang pagpapaandar o - depende kung mayroong kahit isang independiyenteng variable o hindi.

Mga Asymptotics

Tantiyahin natin ang mga asymptotics ng nakuha na algorithm. Ang algorithm ay binubuo ng mga phase, sa bawat isa sa mga sumusunod ay nangyayari:

Malinaw na, ang unang item ay may isang mas maliit na asymptotics kaysa sa pangalawa. Tandaan din na ang pangalawang item ay ginaganap na hindi hihigit sa beses - kasing dami ng maaaring may mga umaasang variable sa SLAE.

Kaya, huling asymptotics Kinukuha ng algorithm ang form.

Kapag ang iskor na ito ay naging.

Tandaan na kapag ang isang SLAE ay isinasaalang-alang hindi sa larangan ng totoong mga numero, ngunit sa isang patlang na modulo dalawa, kung gayon ang sistema ay maaaring malutas nang mas mabilis - tingnan sa ibaba sa seksyon na "Solusyon ng isang SLAE modulo".

Mas mahusay na tantyahin ang bilang ng mga aksyon

Tulad ng alam na natin, ang tumatakbo na oras ng buong algorithm ay talagang natutukoy ng oras na kinakailangan upang maalis ang kasalukuyang equation mula sa iba pa.

Maaari itong mangyari sa bawat hakbang, habang ang kasalukuyang equation ay idinagdag sa lahat ng iba pa. Kapag nagdaragdag, ang gawain ay napupunta lamang sa mga haligi, nagsisimula sa kasalukuyang isa. Kaya, ang kabuuan ay nakuha operasyon.

Mga add-on

Pagpapabilis ng algorithm: paghahati nito sa pasulong at pabalik na paggalaw

Posibleng makamit ang isang dalawampuong pagpabilis ng algorithm sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa isa pang bersyon nito, isang mas klasiko, kapag ang algorithm ay nahahati sa pasulong at baligtarin na mga phase.

Sa pangkalahatan, taliwas sa algorithm na inilarawan sa itaas, posible na bawasan ang matrix hindi sa isang dayagonal form, ngunit sa tatsulok na pagtingin- kapag ang lahat ng mga elemento na mahigpit sa ibaba ng pangunahing dayagonal ay katumbas ng zero.

Ang sistema na may isang tatsulok na matrix ay malulutas nang walang gaanong - una, ang halaga ng huling variable ay agad na natagpuan mula sa huling equation, pagkatapos ang nahanap na halaga ay pinalitan sa penultimate equation at ang halaga ng penultimate variable ay natagpuan, at sa gayon sa Ang prosesong ito ay tinawag baligtarin ang Gauss algorithm.

Direktang stroke Ang Gauss algorithm ay isang algorithm na katulad ng algorithm ng Gauss-Jordan na inilarawan sa itaas, na may isang pagbubukod: ang kasalukuyang variable ay hindi ibinubukod mula sa lahat ng mga equation, ngunit mula lamang sa mga equation pagkatapos ng kasalukuyang isa. Bilang isang resulta, talagang hindi ito isang dayagonal, ngunit isang tatsulok na matrix.

Ang pagkakaiba ay gumagana ang direktang run mas mabilis ang algorithm ng Gauss-Jordan - sapagkat, sa average, ginagawa nito ang kalahati ng mga karagdagan ng isang equation sa isa pa. Gumagana ang reverse ilipat, kung saan sa anumang kaso ay asymptotically mas mabilis kaysa sa pasulong na paglipat.

Kaya, kung, kung gayon ang algorithm na ito ay gagawa na ng mga pagpapatakbo - na kalahating laki ng algorithm ng Gauss-Jordan.

Solusyon ng SLAE modulo

Upang malutas ang isang SLAE modulo, ang algorithm na inilarawan sa itaas ay maaaring mailapat; pinapanatili nito ang kawastuhan.

Siyempre, ngayon ito ay hindi kinakailangan upang gumamit ng ilang mga diskarte sa pagpili ng mahirap na pivot - sapat na upang makahanap ng anumang hindi-zero na elemento sa kasalukuyang haligi.

Kung ang module ay simple, pagkatapos ay walang mga paghihirap na lumabas - ang mga paghati na nagaganap sa panahon ng pagpapatakbo ng Gauss algorithm ay hindi lumikha ng anumang mga espesyal na problema.

Lalo na kahanga-hanga modulus katumbas ng dalawa: para sa kanya, lahat ng mga pagpapatakbo na may matrix ay maaaring gawin nang napakahusay. Halimbawa, ang pagbabawas ng isang hilera mula sa isa pang modulo dalawa ay talagang kanilang symmetric na pagkakaiba ("xor"). Kaya, ang buong algorithm ay maaaring makabuluhang mapabilis sa pamamagitan ng pag-compress ng buong matrix sa mga bitmasks at pagpapatakbo lamang sa kanila. Narito ang isang bagong pagpapatupad ng pangunahing bahagi ng Gauss-Jordan algorithm gamit ang karaniwang lalagyan na "bitset" na C ++:

int gauss (vector< bitset< N>> a, int n, int m, bitset< N>& ans) (vector< int >kung saan (m, - 1); para sa (int col = 0, row = 0; col< m && row< n; ++ col) { for (int i= row; i< n; ++ i) if (a[ i] [ col] ) { swap (a[ i] , a[ row] ) ; break ; } if (! a[ row] [ col] ) continue ; where[ col] = row; for (int i= 0 ; i< n; ++ i) if (i ! = row && a[ i] [ col] ) a[ i] ^ = a[ row] ; ++ row; }

Tulad ng nakikita mo, ang pagpapatupad ay naging mas kaunting mas maikli, sa kabila ng katotohanang ito ay mas mabilis kaysa sa dating pagpapatupad - lalo na, mas mabilis ang oras dahil sa pag-compress ng kaunti. Dapat ding pansinin na ang solusyon ng mga system modulo dalawa, sa kasanayan, ay gumagana nang napakabilis, dahil ang mga kaso kung saan ang isa pa ay dapat na ibawas mula sa isang hilera ay nangyayari na bihirang (sa mga kalat-kalat na mga matrice, ang algorithm na ito ay maaaring gumana sa isang oras ng pagkakasunud-sunod ng isang parisukat ng laki kaysa sa isang kubo).

Kung ang modyul di-makatwirang(hindi kinakailangang simple), kung gayon ang mga bagay ay nagiging mas kumplikado. Malinaw na ang paggamit ng teorya ng natitirang Tsino, binabawas natin ang problema sa isang di-makatwirang module lamang sa mga module ng form na "pangunahing kapangyarihan". [karagdagang teksto ay itinago dahil ito ay hindi napatunayan na impormasyon - marahil ang maling paraan upang malutas]

Panghuli, isaalang-alang ang tanong ang bilang ng mga solusyon ng modulo ng SLAE... Ang sagot dito ay medyo simple: ang bilang ng mga solusyon ay katumbas ng, kung saan ang modulus, ay ang bilang ng mga independiyenteng variable.

Kaunti tungkol sa iba't ibang mga paraan upang pumili ng isang elemento ng pivot

Tulad ng nabanggit sa itaas, walang tiyak na sagot sa katanungang ito.

Ang bahagyang pivoting heuristic, na tumingin para sa maximum na item sa kasalukuyang haligi, ay gumagana nang maayos sa pagsasanay. Lumalabas din na nagbibigay ito ng halos parehong resulta bilang "buong pivoting" - kapag ang isang elemento ng pivot ay hinanap kasama ng mga elemento ng isang buong submatrix - simula sa kasalukuyang hilera at mula sa kasalukuyang haligi.

Ngunit kagiliw-giliw na tandaan na ang pareho ng maximum na heuristics ng paghahanap ng elemento ay, sa katunayan, napaka nakasalalay sa kung magkano ang orihinal na mga equation ay na-scale. Halimbawa, kung ang isa sa mga equation sa system ay pinarami ng isang milyon, kung gayon ang equation na ito ay tiyak na pipiliin bilang nangungunang sa unang hakbang. Ito ay tila sapat na kakaiba, kaya makatuwiran upang lumipat sa isang bahagyang mas kumplikadong heuristic - ang tinaguriang "implicit pivoting".

Ang implicit pivoting heuristic ay ang mga elemento ng iba't ibang mga string ay inihambing na parang ang parehong mga string ay na-normalize sa isang paraan na ang maximum na elemento sa kanila ay katumbas ng isa. Upang maipatupad ang diskarteng ito, kailangan mo lamang panatilihin ang kasalukuyang maximum sa bawat hilera (o mapanatili ang bawat hilera upang ang maximum dito ay katumbas ng isa sa ganap na halaga, ngunit maaari itong humantong sa isang pagtaas sa naipon na error).

Pagpapabuti ng nahanap na sagot

Dahil, sa kabila ng iba't ibang mga heuristics, ang Gauss-Jordan algorithm ay maaari pa ring humantong sa malalaking mga error sa mga espesyal na matris, kahit na ang laki ng pagkakasunud-sunod ng.

Kaugnay nito, ang sagot na nakuha ng algorithm ng Gauss-Jordan ay maaaring mapabuti sa pamamagitan ng paglalapat ng isang simpleng pamamaraan sa bilang ayon dito, halimbawa, ang simpleng pamamaraan ng pag-ulit.

Samakatuwid, ang solusyon ay naging isang dalawang hakbang na una: una, ang algorithm ng Gauss-Jordan ay naisagawa, pagkatapos ay isang numerong pamamaraan na kumukuha bilang paunang data ng solusyon na nakuha sa unang hakbang.

Pinapayagan ng pamamaraang ito na palawakin nang bahagya ang hanay ng mga problema na nalutas ng Gauss-Jordan algorithm na may isang katanggap-tanggap na error.

Panitikan

William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery. Mga Recipe ng Numero: Ang Art ng Siyentipikong Pag-compute
Anthony Ralston, Philip Rabinowitz. Isang unang kurso sa pagsusuri sa bilang

Magkakaroon din ng mga gawain para sa isang malayang solusyon, kung saan makikita mo ang mga sagot.

Ang konsepto ng pamamaraan ng Gauss

Upang makakuha ng agarang ideya ng pamamaraan ng Gaussian, huminto sandali sa mga animasyon sa ibaba. Bakit ang ilang mga titik ay unti-unting nawala, ang iba ay nagiging berde, iyon ay, naging kilala sila, at ang mga numero ay pinalitan ng iba pang mga numero? Pahiwatig: mula sa huling equation alam mo nang eksakto kung ano ang katumbas ng variable z .

Nahulaan mo na ba? Sa ganitong sistema, na tinatawag na trapezoidal, ang huling equation ay naglalaman lamang ng isang variable at ang halaga nito ay maaaring matagpuan nang hindi malinaw. Pagkatapos ang halaga ng variable na ito ay pinalitan sa nakaraang equation ( paatras na pamamaraan ng Gaussian , pagkatapos ay baligtarin lamang), kung saan matatagpuan ang dating variable, at iba pa.

Ang pamamaraan ni Gauss, na tinatawag ding pamamaraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng hindi alam, ay ang mga sumusunod. Sa tulong ng mga elementarya na pagbabago, ang sistema ng mga linear equation ay dinala sa isang form na ang matrix ng mga coefficients ay naging trapezoidal (kapareho ng tatsulok o stepped) o malapit sa trapezoidal (direktang paglipat ng pamamaraan ng Gauss, karagdagang - isang direktang paglipat lamang). Ang isang halimbawa ng naturang sistema at ang solusyon nito ay ipinakita lamang sa animasyon sa simula ng aralin.

Sa isang sistemang trapezoidal (tatsulok), tulad ng nakikita natin, ang pangatlong equation ay hindi na naglalaman ng mga variable y at x, at ang pangalawang equation ay ang variable x .

Matapos ang matrix ng system ay kumuha ng isang trapezoidal na hugis, hindi na mahirap maintindihan ang tanong ng pagiging tugma ng system, tukuyin ang bilang ng mga solusyon, at hanapin mismo ang mga solusyon.

Para sa mga mag-aaral, ang pinakadakilang paghihirap ay tiyak na sanhi ng direktang kurso, iyon ay, pagdadala ng orihinal na sistema sa isang trapezoidal. At ito ay sa kabila ng katotohanang ang mga pagbabago na kinakailangan para dito ay tinatawag na elementarya. At tinawag sila para sa isang kadahilanan: nangangailangan sila ng pagpaparami (paghahati), pagdaragdag (pagbabawas) at pagbabago ng mga equation sa mga lugar.

Ang mga pakinabang ng pamamaraan:

kapag ang paglutas ng mga system ng mga linear equation na may bilang ng mga equation at hindi kilalang higit sa tatlo, ang pamamaraan ng Gauss ay hindi masalimuot tulad ng Cramer na pamamaraan, dahil kapag nalulutas ang pamamaraan ng Gauss, kinakailangan ang mas kaunting mga kalkulasyon;
gamit ang pamamaraan ng Gauss, maaaring malutas ng isang tao ang mga walang katiyakan na sistema ng mga linear equation, iyon ay, pagkakaroon ng isang pangkalahatang solusyon (at susuriin natin ang mga ito sa araling ito), at gamit ang pamamaraan ng Cramer, maaari lamang sabihin ng isa na ang system ay walang katiyakan;
malulutas mo ang mga system ng mga linear equation kung saan ang bilang ng hindi alam ay hindi katumbas ng bilang ng mga equation (susuriin din namin ang mga ito sa araling ito);
ang pamamaraan ay batay sa mga pamamaraan ng elementarya (paaralan) - ang pamamaraan ng pagpapalit ng hindi alam at ang paraan ng pagdaragdag ng mga equation, na hinawakan namin sa kaukulang artikulo.

Sa gayon ang bawat isa ay napuno ng pagiging simple na kung saan malulutas ang mga trapezoidal (tatsulok, stepped) na mga sistema ng mga linear equation, bibigyan namin ng isang solusyon ang gayong sistema gamit ang reverse galaw. Ang isang mabilis na solusyon sa sistemang ito ay ipinakita sa larawan sa simula ng aralin.

Halimbawa 1. Malutas ang isang sistema ng mga linear equation gamit ang reverse motion:

Solusyon Sa sistemang trapezoidal na ito, ang variable z natatanging natagpuan mula sa pangatlong equation. Pinalitan namin ang halaga nito sa pangalawang equation at nakukuha ang halaga sa pamamagitan ng pagbabago y:

Ngayon alam na natin ang mga halaga ng dalawang variable - z at y... Pinapalitan namin sila sa unang equation at nakukuha ang halaga ng variable x:

Mula sa mga nakaraang hakbang, isusulat namin ang solusyon sa system ng mga equation:

Upang makakuha ng tulad ng isang sistemang trapezoidal ng mga linear na equation, na malutas namin nang napakadali, kinakailangan na mag-apply ng isang direktang paglipat na nauugnay sa mga elementarya na pagbabago ng system ng mga linear equation. Hindi rin ito masyadong mahirap.

Elementary na mga pagbabago ng isang sistema ng mga linear equation

Ang pag-uulit ng pamamaraan ng paaralan ng pagdaragdag ng algebraic ng mga equation ng system, nalaman namin na ang isa pang equation ng system ay maaaring idagdag sa isa sa mga equation ng system, at ang bawat isa sa mga equation ay maaaring maparami ng ilang mga numero. Bilang isang resulta, nakakakuha kami ng isang sistema ng mga linear equation na katumbas ng naibigay. Sa loob nito, ang isang equation ay naglalaman lamang ng isang variable, pinapalitan ang halaga nito sa iba pang mga equation, nakarating kami sa isang solusyon. Ang nasabing pagdaragdag ay isa sa mga uri ng pagbabago ng elementarya ng system. Kapag ginagamit ang Gaussian na pamamaraan, maaari kaming gumamit ng maraming uri ng mga pagbabago.

Ipinapakita ng animasyon sa itaas kung paano ang system ng mga equation ay unti-unting nagiging isang trapezoidal. Iyon ay, isa na nakita mo sa pinakaunang animasyon at tinitiyak ang iyong sarili na madali itong makahanap ng mga halaga ng lahat ng hindi kilalang ito. Paano magsagawa ng ganoong pagbabago at, syempre, mga halimbawa ay tatalakayin pa.

Kapag ang paglutas ng mga system ng mga linear equation na may anumang bilang ng mga equation at hindi alam sa system ng mga equation at sa pinalawig na matrix ng system maaari:

muling ayusin ang mga linya (nabanggit ito sa simula pa ng artikulong ito);
kung, bilang isang resulta ng iba pang mga pagbabago, lumitaw ang pantay o proporsyonal na mga hilera, maaari silang matanggal, maliban sa isa;
tanggalin ang mga "zero" na linya, kung saan ang lahat ng mga coefficients ay katumbas ng zero;
anumang string upang maparami o hatiin ng ilang numero;
sa anumang linya magdagdag ng isa pang linya na pinarami ng ilang numero.

Bilang isang resulta ng mga pagbabago, nakakakuha kami ng isang sistema ng mga linear equation na katumbas ng isang ito.

Algorithm at mga halimbawa ng paglutas ng system ng mga linear equation na may isang square matrix ng pamamaraang Gauss

Isaalang-alang muna natin ang solusyon ng mga system ng mga linear equation kung saan ang bilang ng mga hindi kilalang katumbas ng bilang ng mga equation. Ang matrix ng naturang sistema ay parisukat, iyon ay, ang bilang ng mga hilera dito ay katumbas ng bilang ng mga haligi.

Halimbawa 2. Malutas ang sistema ng mga linear equation ng pamamaraang Gauss

Ang paglutas ng mga system ng mga linear equation na gumagamit ng mga pamamaraan ng paaralan, pinarami namin ang isa sa mga equation ng isang tiyak na bilang, upang ang mga coefficients ng unang variable sa dalawang equation ay magkatugma ang mga numero. Tinatanggal ng pagdaragdag ng mga equation ang variable na ito. Ang pamamaraan ng Gauss ay gumagana sa isang katulad na paraan.

Upang gawing simple ang hitsura ng solusyon bumuo ng isang pinalawig na matrix ng system:

Sa matrix na ito, sa kaliwa bago ang patayong bar, matatagpuan ang mga coefficients para sa mga hindi kilalang, at sa kanan, pagkatapos ng patayong bar, ay ang mga libreng term.

Para sa kaginhawaan ng paghahati ng mga coefficients ng mga variable (upang makakuha ng paghahati sa isa) palitan ang una at pangalawang mga hilera ng matrix ng system... Nakakakuha kami ng isang sistema na katumbas ng ibinigay, dahil sa system ng mga linear equation ang mga equation ay maaaring muling ayusin sa mga lugar:

Gamit ang bagong unang equation ibukod ang variable x mula sa pangalawa at lahat ng kasunod na mga equation... Upang gawin ito, idagdag ang unang hilera na pinarami ng (sa aming kaso, sa) sa pangalawang hilera ng matrix, at ang unang hilera na pinarami ng (sa aming kaso, ng) sa ikatlong hilera.

Posible ito mula pa

Kung ang aming system ng mga equation ay may higit sa tatlo, kung gayon ang unang hilera ay dapat idagdag sa lahat ng kasunod na mga equation, na pinarami ng ratio ng mga kaukulang coefficients, na kinunan ng isang minus sign.

Bilang isang resulta, nakakakuha kami ng isang matrix na katumbas ng naibigay na sistema ng isang bagong sistema ng mga equation, kung saan ang lahat ng mga equation, simula sa pangalawa huwag maglaman ng variable x :

Upang gawing simple ang pangalawang hilera ng nagresultang system, pinarami namin ito at binabalik ang matrix ng system ng mga equation na katumbas ng sistemang ito:

Ngayon, pinapanatili ang unang equation ng nagresultang system na hindi nagbago, gamit ang pangalawang equation, ibinubukod namin ang variable y mula sa lahat ng kasunod na mga equation. Upang gawin ito, idagdag ang pangalawang hilera na pinarami ng (sa aming kaso, sa) sa ikatlong hilera ng system matrix.

Kung ang aming system ng mga equation ay may higit sa tatlo, pagkatapos ay dapat naming idagdag ang pangalawang hilera sa lahat ng kasunod na mga equation, na pinarami ng ratio ng mga kaukulang koepisyent, na kinunan ng isang minus sign.

Bilang isang resulta, nakakuha ulit kami ng matrix ng system na katumbas ng naibigay na system ng mga linear equation:

Nakuha namin ang isang katumbas sa ibinigay na sistema ng trapezoidal ng mga linear equation:

Kung ang bilang ng mga equation at variable ay mas malaki kaysa sa aming halimbawa, pagkatapos ay ang proseso ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga variable ay nagpatuloy hanggang ang matrix ng system ay naging trapezoidal, tulad ng aming halimbawa ng demo.

Mahahanap namin ang solusyon "mula sa huli" - baligtarin ang kurso... Para dito mula sa huling equation na tinukoy namin z:
.
Pinapalitan ang halagang ito sa nakaraang equation, hanapin y:

Mula sa unang equation hanapin x:

Sagot: ang solusyon sa sistemang ito ng mga equation ay .

: sa kasong ito, ibibigay ang parehong sagot kung ang system ay may isang hindi siguradong solusyon. Kung ang system ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon, ito ang magiging sagot, at ito ang paksa ng ikalimang bahagi ng araling ito.

Malutas ang system ng mga linear equation ng pamamaraang Gauss mismo, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon

Bago sa amin ay isang halimbawa muli ng isang magkasanib at tiyak na sistema ng mga linear equation kung saan ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi kilalang. Ang pagkakaiba sa aming halimbawa ng demo mula sa algorithm ay mayroon nang apat na mga equation at apat na hindi alam.

Halimbawa 4. Malutas ang sistema ng mga linear equation ng Gaussian na pamamaraan:

Ngayon kailangan mong gamitin ang pangalawang equation upang maibukod ang variable mula sa mga kasunod na equation. Magsasagawa kami ng gawaing paghahanda. Upang gawing mas maginhawa sa ratio ng mga coefficients, kailangan mong makuha ang yunit sa pangalawang haligi ng pangalawang hilera. Upang magawa ito, ibawas ang pangatlo mula sa pangalawang linya, at i-multiply ang nagresultang pangalawang linya ng -1.

Isagawa natin ngayon ang aktwal na pag-aalis ng variable mula sa pangatlo at ikaapat na mga equation. Upang gawin ito, idagdag sa pangatlong linya ang pangalawa, pinarami ng, at sa pang-apat, idagdag ang pangalawa, pinarami ng.

Ngayon, gamit ang pangatlong equation, inaalis namin ang variable mula sa ika-apat na equation. Upang magawa ito, idagdag sa ika-apat na linya sa pangatlo, pinarami ng. Nakukuha namin ang isang pinalawak na trapezoidal matrix.

Nakuha namin ang isang sistema ng mga equation kung saan ang ibinigay na system ay katumbas:

Dahil dito, ang nakuha at ibinigay na sistema ay magkakasama at tiyak. Nahanap namin ang pangwakas na solusyon na "mula sa huli". Mula sa ika-apat na equation, maaari naming direktang ipahayag ang halaga ng variable na "x ika-apat":

Pinalitan namin ang halagang ito sa pangatlong equation ng system at makuha

Panghuli, pagpapalit ng halaga

Nagbibigay ang unang equation

kung saan namin mahahanap ang "x una":

Sagot: ang sistemang ito ng mga equation ay may natatanging solusyon .

Maaari mo ring suriin ang solusyon ng system sa isang calculator na malulutas ng pamamaraan ni Cramer: sa kasong ito, ibibigay ang parehong sagot kung ang system ay may isang hindi malinaw na solusyon.

Ang solusyon sa pamamagitan ng Gauss na paraan ng paglapat ng mga problema sa pamamagitan ng halimbawa ng isang problema sa mga haluang metal

Ginagamit ang mga system ng mga linear equation upang ma-modelo ang totoong mga bagay ng pisikal na mundo. Malulutas namin ang isa sa mga problemang ito - para sa mga haluang metal. Mga katulad na gawain - mga gawain para sa isang halo, ang gastos o tiyak na bigat ng mga indibidwal na kalakal sa isang pangkat ng mga kalakal, at mga katulad nito.

Halimbawa 5. Tatlong piraso ng haluang metal ay may kabuuang bigat na 150 kg. Ang unang haluang metal ay naglalaman ng 60% tanso, ang pangalawa - 30%, ang pangatlo - 10%. Bukod dito, sa pangalawa at pangatlong haluang metal na pinagsama, ang tanso ay 28.4 kg na mas mababa kaysa sa unang haluang metal, at sa ikatlong haluang metal, ang tanso ay 6.2 kg mas mababa kaysa sa pangalawa. Hanapin ang masa ng bawat piraso ng haluang metal.

Solusyon Bumubuo kami ng isang sistema ng mga linear equation:

Pinaparami ang pangalawa at pangatlong equation ng 10, nakakakuha kami ng isang katumbas na sistema ng mga linear equation:

Bumubuo kami ng isang pinalawak na system matrix:

Pansin, direktang kurso. Sa pamamagitan ng pagdaragdag (sa aming kaso, binabawas) ang isang hilera na pinarami ng isang numero (inilalapat namin ito nang dalawang beses) kasama ang pinalawak na matrix ng system, nangyayari ang mga sumusunod na pagbabago:

Natapos na ang direktang paglipat. Nakatanggap ng pinalawak na trapezoidal matrix.

Inilapat namin ang pabalik na paggalaw. Nakahanap kami ng solusyon mula sa huli. Nakikita natin yan

Mula sa ikalawang equation na matatagpuan natin

Mula sa pangatlong equation -

Ang pagiging simple ng pamamaraang Gauss ay pinatunayan ng katotohanang ang matematiko na Aleman na si Karl Friedrich Gauss ay tumagal lamang ng 15 minuto upang maimbento ito. Bilang karagdagan sa pamamaraan ng kanyang pangalan, mula sa gawain ni Gauss, ang salitang "Hindi namin dapat ihalo kung ano ang tila hindi kapani-paniwala at hindi natural sa ganap na imposible" ay isang uri ng maikling tagubilin para sa paggawa ng mga tuklas.

Sa maraming mga inilapat na problema, maaaring walang pangatlong hadlang, iyon ay, ang pangatlong equation, pagkatapos ay kinakailangan upang malutas ang sistema ng dalawang mga equation na may tatlong hindi alam sa pamamagitan ng pamamaraan ng Gauss, o, sa kabaligtaran, mayroong mas kaunting hindi alam kaysa sa mga equation. Magpatuloy kami ngayon sa solusyon ng mga naturang sistema ng mga equation.

Gamit ang pamamaraang Gaussian, posible na maitaguyod kung ang anumang system ay katugma o hindi tugma. n mga linear equation na may n variable.

Gauss na pamamaraan at mga sistema ng mga linear equation na may isang walang katapusang hanay ng mga solusyon

Ang susunod na halimbawa ay isang pare-pareho ngunit hindi natukoy na sistema ng mga linear equation, iyon ay, pagkakaroon ng isang walang katapusang hanay ng mga solusyon.

Pagkatapos gumanap ng mga pagbabago sa pinalawak na matrix ng system (muling pag-ayos ng mga hilera, pag-multiply at paghahati ng mga hilera sa ilang bilang, pagdaragdag sa isang hilera ng isa pa), mga hilera ng form

Kung sa lahat ng mga equation pagkakaroon ng form

Ang mga libreng term ay katumbas ng zero, nangangahulugan ito na ang system ay walang katiyakan, iyon ay, mayroon itong walang katapusang hanay ng mga solusyon, at ang mga equation ng ganitong uri ay "labis" at ibinubukod namin ang mga ito sa system.

Halimbawa 6.

Solusyon Bumuo tayo ng isang pinalawig na matrix ng system. Pagkatapos, gamit ang unang equation, ibinubukod namin ang variable mula sa mga kasunod na equation. Upang magawa ito, idagdag ang una sa pangalawa, pangatlo at pang-apat na linya, pinarami ng:

Idagdag ngayon ang pangalawang linya sa pangatlo at pang-apat.

Bilang isang resulta, nakarating kami sa system

Ang huling dalawang equation ay naging mga equation ng form. Ang mga equation na ito ay nasiyahan para sa anumang mga halaga ng hindi alam at maaaring itapon.

Upang masiyahan ang pangalawang equation, maaari kaming pumili para sa at di-makatwirang mga halaga, kung gayon ang halaga para sa ay matutukoy nang hindi maliwanag: ... Mula sa unang equation, ang halaga para sa ay matatagpuan din nang hindi malinaw: .

Parehong ang ibinigay at ang huling mga system ay pare-pareho, ngunit walang katiyakan, at ang mga formula

para sa di-makatwirang at bigyan kami ng lahat ng mga solusyon ng isang naibigay na system.

Gauss na pamamaraan at mga sistema ng mga linear equation na walang mga solusyon

Ang susunod na halimbawa ay isang hindi pantay na sistema ng mga linear equation, iyon ay, wala itong mga solusyon. Ang sagot sa mga naturang problema ay binubuo tulad ng sumusunod: ang system ay walang mga solusyon.

Tulad ng nabanggit na may kaugnayan sa unang halimbawa, pagkatapos magsagawa ng mga pagbabago sa pinalawig na matrix ng system, mga hilera ng form

naaayon sa isang equation ng form

Kung kasama ng mga ito mayroong hindi bababa sa isang equation na may isang nonzero libreng term (ibig sabihin), kung gayon ang sistemang ito ng mga equation ay hindi naaayon, iyon ay, wala itong mga solusyon, at natatapos nito ang solusyon nito.

Halimbawa 7. Malutas ang sistema ng mga linear equation ng pamamaraan ng Gauss:

Solusyon Bumubuo kami ng isang pinalawig na matrix ng system. Gamit ang unang equation, ibinubukod namin ang variable mula sa mga kasunod na equation. Upang gawin ito, idagdag ang unang pinarami ng sa pangalawang linya, ang unang pinarami ng sa ikatlong linya, at ang unang pinarami ng hanggang sa ika-apat.

Ngayon kailangan mong gamitin ang pangalawang equation upang maibukod ang variable mula sa mga kasunod na equation. Upang makakuha ng mga ratio ng integer ng mga coefficients, ipinagpapalit namin ang pangalawa at pangatlong hilera ng pinalawig na matrix ng system.

Upang maalis mula sa pangatlo at ikaapat na mga equation, idagdag ang pangalawa, pinarami ng, sa ikatlong hilera, at ang pangalawa, pinarami ng.

Ngayon, gamit ang pangatlong equation, inaalis namin ang variable mula sa ika-apat na equation. Upang magawa ito, idagdag sa ika-apat na linya sa pangatlo, pinarami ng.

Ang ibinigay na system ay katumbas ng mga sumusunod:

Ang nagresultang system ay hindi naaayon, dahil ang huling equation nito ay hindi maaaring nasiyahan ng anumang mga halaga ng hindi alam. Samakatuwid, ang sistemang ito ay walang mga solusyon.

Katulad na mga artikulo: