Kui teile antakse kaks punktid, siis võite julgelt öelda, et nad lamavad samal sirge, kuna pärast mis tahes kahte punktid saate tõmmata sirge joone. Kuidas aga teada saada, kas kõik valetavad? punktid peal sirge, kui punkte on kolm, neli või rohkem? Tõesta, et punktid kuuluvad samasse sirge võimalik mitmel viisil.

Sa vajad

• Koordinaatidega määratud punktid.

Juhised

Kui teile antakse punktid koordinaatidega (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3), leidke võrrand sirge, kasutades mis tahes kahe punkti, näiteks esimese ja teise punkti koordinaate. Selleks asendage võrrandis vastavad väärtused sirge: (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1). Kui üks nimetajatest on null, määra lihtsalt lugeja nulliks.

Leidke võrrand sirge, teades kahte punktid koordinaatidega (x1, y1), (x2, y2), veelgi lihtsam. Selleks asendage väärtused valemiga (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

Olles saanud võrrandi sirge, läbides kaks punktid, asendage kolmanda koordinaatväärtused punktid sellesse muutujate x ja y asemel. Kui võrdsus on õige, siis kõik kolm punktid lama ühe peal sirge. Samamoodi saate kontrollida, kas see sirge muud punktid.

Kontrollige kõigi punktide kuuluvust sirge, kontrollides neid ühendavate segmentide kaldenurkade puutujate võrdsust. Selleks kontrollige, kas võrdus (x2-x1)/(x3-x1)=(y2-y1)/(y3-y1)=(z2-z1)/(z3-z1) on tõene. Kui üks nimetajatest on null, siis kõik punktid kuuluvad samasse sirge tingimus x2-x1=x3-x1, y2-y1=y3-y1, z2-z1=z3-z1 peab olema täidetud.

Veel üks viis kolme punkti liikmelisuse kontrollimiseks sirge- Arvutage nende moodustatud kolmnurga pindala. Ma kukun punktid pikali sirge, siis on selle pindala null. Asendage koordinaatide väärtused valemis: S=1/2((x1-x3)(y2-y3)-(x2-x3)(y1-y3)). Kui pärast kõiki arvutusi saad nulli, tähendab see kolme punktid lama ühe peal sirge.

Ülesande graafilise lahenduse leidmiseks konstrueeri koordinaattasandid ja leia punktid määratud koordinaatidel. Seejärel tõmmake sirgjoon läbi kahe neist ja jätkake kolmandaga punktid, vaata, kas see läheb sellest läbi. Pange tähele, et see meetod sobib ainult punktidele, mis on määratud tasapinnal koordinaatidega (x, y), kuid kui punkt on määratud ruumis ja sellel on koordinaadid (x, y, z), siis see meetod ei ole rakendatav.

Vihje 2: kuidas kontrollida, et punktid ei asuks samal joonel

Põhineb omadusi kirjeldaval aksioomil sirge: mis iganes sirgjoon on, on olemas punktid kuulumine ja mittekuulumine talle. Seetõttu on üsna loogiline, et mitte kõik punktid lamab ühe peal sirge read.

Sa vajad

• - pliiats;
• - joonlaud;
• - pliiats;
• - märkmik;
• - kalkulaator.

Juhised

Kontrollige kuuluvust punktid see või too sirgeüsna lihtne. Kasutage selleks võrrandit sirge. Niisiis, oletame, et joon läbib punktid A(x1,y1) ja B(x2,y2). Antud punkt K(x,y): peate kontrollima selle kuuluvust sirge. Kahel punktil põhineva sirge võrrand on järgmine: (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0.

Asendage koordinaatide väärtus punktid K võrrandisse. Kui (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) on suurem kui null, siis asub punkt K paremal või allpool sirge, tõmmatud läbi punktide A ja B.

Kui (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) on väiksem kui null, asub punkt K joone kohal või sellest vasakul. Teisisõnu, ainult siis, kui võrrand kujul (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0 on tõene, punktid A, B ja K asuvad samal kohal sirge.

Väga sageli tekib kodutööde lahendamisel küsimus: kui 3 punkti asuvad samal sirgel, on vastus väga lihtne ja see on geomeetria keskmes.

Saate kontrollida, kas kolm punkti asuvad samal sirgel, koostades kõnealuse sirge võrrandi, mis läbib nendest kolmest juhuslikult valitud kahte punkti. Ja kontrollida, kas see võrrand on rahuldatud ülejäänud kolme punkti koordinaatidega.

Sirgjoone võrrandeid on erinevat tüüpi. Kasutame üht lihtsaimat meetodit ja kaalume seda konkreetsete punktide puhul.

Teeme seda ainult selleks, et mitte lahendada püstitatud ülesannet üldisel kujul, vaid vastata küsimusele, kas need 3 punkti nende koordinaatidega asuvad samal sirgel. Sõnastame ülesande: Tuleb kontrollida, kas punktid A(-2;1), B(0;3), B (5;-7) asuvad samal sirgel.

Lahendame probleemi

Nagu teate, saate iga kahe punkti kaudu tõmmata sirge ja ainulaadse. Nii et tõmbame vaimselt selle sirgjoone. Ütleme otse AB. See tähendab, et meie probleemi lahendus taandub sellele, et peame kontrollima, kas punkt B kuulub joonele AB. Kui selgub, et punkt B kuulub sirgele AB, asuvad kõik tingimuse punktid samal sirgel. Kui saame teada, et punkt B ei kuulu sirgele AB, siis võime väita, et punktid A, B ja C ei asu samal sirgel. Koostame sirge AB võrrandi kahte punkti läbiva sirge võrrandiks:

(x+2)/(0+2)=(y-1)/(3-1)

Pärast transformatsiooni saame:

x-y=-3 on sirge AB võrrand

Kontrollime, kas punkti B koordinaadid vastavad sellele võrrandile, selleks piisab, kui asendada sirge AB võrrandis olevate muutujate asemel punkti B koordinaadid. Kui saame õige arvulise võrdsuse, siis on punkt B sirge AB punkt. Vastasel juhul näitab vale numbriline võrdsus, et punkt B ei kuulu sirgele AB.

Nagu näete, ei saanud me õiget arvulist võrdsust. See tähendab, et antud juhul ei asu punktid A, B, C samal sirgel.

Selle ülesande jaoks saab hõlpsasti valida näite, kus 3 punkti asuvad samal sirgel. Lihtsalt punktil B peavad olema koordinaadid (0;3) või (-7;-4)

Kui punktid A, B ja C asuvad samal sirgel, siis suurem lõikudest AB, BC ja AC on võrdne kahe teise lõigu summaga. Tingimuse järgi on suurim neist lõikudest (segment AC) 5 cm ja ülejäänud kahe (AB + BC) summa on 7 cm. Seetõttu ei asu punktid A, B ja C samal kohal sirgjoon.

Kui punktid A, B, C asuvad samal sirgel, siis suurem lõikudest AB, BC ja AC on võrdne kahe ülejäänud lõikude summaga. Tingimuse järgi on nendest lõikudest suurim (AC = 5 cm) ja AB + BC = 7 cm, seetõttu ei asu punktid A, B, C samal sirgel.

Sarnased ülesanded:

1. Rombi pindala on S. Leidke nelinurga pindala, mille tipud on rombi külgede keskpunktid.

2. Kaks ringi, mille keskpunktid on punktides O1 ja O2, lõikuvad punktides A ja A1 ning lõigud AB ja AC on nende läbimõõdud. Leidke nurgad AA1B ja AA1C ning tõestage, et punktid B, A1 ja C asuvad samal sirgel.

3. Kolmnurga, mille küljed on 5 cm, 6 cm ja 7 cm, mediaanid lõikuvad punktis O. Leidke kaugus punktist O kolmnurga külgi sisaldavate sirgete vahel.

4. Nelinurk ABCD on kantud ringjoonele. On teada, et nurk ABD=30*, nurk ACB=30*, nurk BDC=20*. Leia nelinurga ABCD nurgad.

1) Täisnurkse kolmnurga küljed on 15 cm ja 20 cm. Leidke ringi ümbermõõt, mille läbimõõt on hüpotenuusi kõrgus.

2) Ruudu pindala on S. Leia:

a) sisse kirjutatud ringi pikkus

b) kahe külgneva kokkupuutepunkti vahele jääva kaare pikkus.

c) ruudu selle osa pindala, mis asub väljaspool sisse kirjutatud ringi.

1. Kahe ringi keskpunktidega O ja K raadiused on vastavalt 4 ja 8 cm. Leidke kahte andmest korraga puudutavate ringide raadiused, kui nende keskpunktid asuvad sirgel OK ja lõik OK on 6 cm.

2. Kolmnurga kõrgused, mis ristuvad punktis H, moodustavad kuus nurka tipuga punktis H. Määrake need nurgad, kui selle kolmnurga nurgad on võrdsed: 50, 60, 70 kraadi.