Sa maraming larangan ng matematika, kailangang patunayan ng isa ang katotohanan ng isang pahayag na nakasalalay sa , ibig sabihin, katotohanan ng panukala p(n) para sa " nнN (para sa alinman n NAKA-ON p(n) kanan).

Madalas itong mapatunayan paraan ng mathematical induction.

Ang pamamaraang ito ay batay sa prinsipyo ng mathematical induction. Karaniwan itong pinipili bilang isa sa mga axiom ng arithmetic at samakatuwid ay tinatanggap nang walang patunay. Ayon sa prinsipyo ng mathematical induction, ang pangungusap p(n) ay itinuturing na totoo para sa lahat ng natural na halaga ng variable kung ang dalawang kundisyon ay natutugunan:

1. Alok p(n) totoo para sa n= 1.

2. Mula sa pangungusap na p(n) totoo para sa n =k (k - arbitrary na natural na numero) ito ay sumusunod na ito ay totoo para sa n =k+ 1.

Ang paraan ng mathematical induction ay nauunawaan bilang ang sumusunod na paraan ng patunay

1. Suriin ang katotohanan ng pahayag para sa n= 1 ang base ng induction.

2. Ipagpalagay na ang pahayag ay totoo para sa n = k - inductive assumption.

3. Patunayan na kung gayon ito ay totoo rin para sa n =k+ 1 inductive transition.

Minsan isang mungkahi p(n) lumalabas na totoo hindi para sa lahat ng natural n, at simula sa ilan para sa n = n 0. Sa kasong ito, ang katotohanan ay nasuri sa induction base p(n) sa n = n 0.

Halimbawa 1 Hayaan . Patunayan mo yan

1. Induction base: kailan n= 1 ayon sa kahulugan S 1 = 1 at sa pamamagitan ng formula makakakuha tayo ng isang resulta. Tama ang pahayag.

n=k at .

n=k+ 1. Patunayan natin na .

Sa katunayan, sa pamamagitan ng inductive assumption

Ibahin natin ang ekspresyong ito

Napatunayan ang inductive transition.

Magkomento. Kapaki-pakinabang na isulat kung ano ang ibinigay (isang inductive assumption) at kung ano ang kailangang patunayan!

Halimbawa 2 Patunayan

1. Base ng induction. Sa n= 1, halatang totoo ang assertion.

2. Inductive assumption. Hayaan n=k at

3. Inductive transition. Hayaan n=k+ 1. Patunayan natin:

Sa katunayan, parisukat natin ang kanang bahagi bilang kabuuan ng dalawang numero:

Gamit ang inductive assumption at ang formula para sa kabuuan ng isang arithmetic progression: , nakukuha namin

Halimbawa 3 Patunayan ang hindi pagkakapantay-pantay

1. Ang batayan ng induction sa kasong ito ay ang pagpapatunay ng katotohanan ng pahayag para sa , i.e. kailangang suriin ang hindi pagkakapantay-pantay. Upang gawin ito, sapat na upang kuwadrado ang hindi pagkakapantay-pantay: o 63< 64 – неравенство верно.

2. Hayaang maging totoo ang hindi pagkakapantay-pantay para sa , ibig sabihin.

3. Hayaan , patunayan:

Ginagamit namin ang induction hypothesis

Alam kung ano ang dapat na hitsura ng kanang bahagi sa hindi pagkakapantay-pantay na pinatunayan, pipiliin namin ang bahaging ito

Ito ay nananatiling itatag na ang dagdag na kadahilanan ay hindi lalampas sa pagkakaisa. Talaga,

Halimbawa 4 Patunayan na para sa anumang natural na numero ay nagtatapos sa isang digit.

1. Ang pinakamaliit na natural na bilang kung saan totoo ang pahayag ay katumbas ng . .

2. Hayaang magtapos ang numero para sa . Nangangahulugan ito na ang numerong ito ay maaaring isulat bilang , kung saan ang ilang natural na numero. Tapos .

3. Hayaan . Patunayan natin na nagtatapos ito sa . Gamit ang resultang representasyon, nakukuha namin

Ang huling numero ay may eksaktong mga isa.

Aplikasyon

1.4. Paraan ng mathematical induction

Tulad ng alam mo, ang mga mathematical na pahayag (theorems) ay dapat na patunayan, napatunayan. Makikilala natin ngayon ang isa sa mga pamamaraan ng patunay - ang paraan ng induction ng matematika.

Sa isang malawak na kahulugan, ang induction ay isang paraan ng pangangatwiran na nagpapahintulot sa iyo na lumipat mula sa mga partikular na pahayag patungo sa mga pangkalahatan. Ang reverse transition, mula sa mga pangkalahatang pahayag hanggang sa mga partikular, ay tinatawag na deduction.

Ang pagbabawas ay palaging humahantong sa mga tamang konklusyon. Halimbawa, alam natin ang pangkalahatang resulta: lahat ng integer na nagtatapos sa zero ay nahahati sa 5. Mula dito, siyempre, maaari nating tapusin na ang anumang partikular na numero na nagtatapos sa 0, tulad ng 180, ay mahahati sa 5.

Kasabay nito, ang induction ay maaaring humantong sa mga maling konklusyon. Halimbawa, na napansin na ang bilang na 60 ay nahahati sa mga numerong 1, 2, 3, 4, 5, 6, wala tayong karapatang maghinuha na ang 60 ay nahahati sa anumang numero.

Ang paraan ng mathematical induction ay ginagawang posible sa maraming mga kaso na mahigpit na patunayan ang bisa ng pangkalahatang assertion P(n), ang pagbabalangkas nito ay kinabibilangan ng natural na bilang n.

Ang aplikasyon ng pamamaraan ay may kasamang 3 yugto.

1) Batayan ng induction: sinusuri namin ang bisa ng pahayag na P(n) para sa n = 1 (o para sa isa pa, pribadong halaga ng n, simula kung saan ipinapalagay ang bisa ng P(n).

2) Assumption of induction: ipinapalagay namin na ang P(n) ay totoo para sa n = k.

3) Hakbang ng induction: gamit ang assumption, pinatutunayan namin na ang P(n) ay totoo para sa n = k + 1.

Bilang resulta, maaari nating tapusin na ang P(n) ay wasto para sa anumang n ∈ N. Sa katunayan, para sa n = 1 ang assertion ay totoo (ang batayan ng induction). At samakatuwid, ito ay totoo rin para sa n = 2, dahil ang paglipat mula sa n = 1 hanggang n = 2 ay nabigyang-katwiran (induction step). Ang paglalapat ng hakbang ng induction nang paulit-ulit, nakukuha natin ang bisa ng P(n) para sa n = 3, 4, 5, . . ., ibig sabihin, ang bisa ng P(n) para sa lahat ng n.

Halimbawa 14. Ang kabuuan ng unang n kakaibang natural na numero ay n2: 1 + 3 + 5 + ...

+ (2n - 1) = n2.

Ang patunay ay isasagawa sa pamamagitan ng paraan ng mathematical induction.

1) Base: para sa n=1, mayroon lamang isang termino sa kaliwa, makukuha natin: 1 = 1.

Tama ang pahayag.

2) Assumption: ipinapalagay namin na para sa ilang k ang pagkakapantay-pantay ay totoo: 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2.

Paglutas ng mga problema tungkol sa posibilidad ng mga hit sa panahon ng mga shot

Ang pangkalahatang pahayag ng problema ay ang mga sumusunod:

Ang posibilidad na matamaan ang target sa isang shot ay katumbas ng $p$. $n$ na mga putok. Hanapin ang posibilidad na ang target ay matamaan ng eksaktong $k$ beses (magkakaroon ng $k$ hit).

Inilapat namin ang formula ng Bernoulli at makuha ang:

$$ P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^(n-k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k).

Narito ang $C_n^k$ ay ang bilang ng mga kumbinasyon mula $n$ hanggang $k$.

Kung ang problema ay nagsasangkot ng ilang mga arrow na may iba't ibang probabilidad pagpindot sa target, teorya, mga halimbawa ng solusyon at isang calculator na makikita mo dito.

Tutorial sa Video at Excel Template

Panoorin ang aming video sa paglutas ng mga problema sa Bernoulli shot, alamin kung paano gamitin ang Excel upang malutas ang mga karaniwang problema.

Ang file ng pagkalkula ng Excel mula sa video ay maaaring ma-download nang libre at magamit upang malutas ang iyong mga problema.

Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa pagtama sa target sa isang serye ng mga shot

Tingnan natin ang ilang karaniwang mga halimbawa.

Halimbawa 1 Nagpaputok ng 7 putok. Ang posibilidad ng pagtama ng isang shot ay 0.705. Hanapin ang posibilidad na magkakaroon ng eksaktong 5 hit.

Napag-alaman namin na ang problema ay tumatalakay sa paulit-ulit na mga independiyenteng pagsusulit (mga pag-shot sa target), $n=7$ na mga putok ay pinaputok sa kabuuan, ang posibilidad ng pagtama sa bawat $p=0.705$, ang posibilidad ng nawawalang $q=1-p =1-0.705=0.295 $.

Kailangan nating malaman na magkakaroon ng eksaktong $k=5$ hit. Pinapalitan namin ang lahat sa formula (1) at makuha ang: $$ P_7(5)=C_(7)^5 \cdot 0.705^5 \cdot 0.295^2 = 21\cdot 0.705^5 \cdot 0.295^2= 0.318. $$

Halimbawa 2 Ang posibilidad na matamaan ang target sa isang shot ay 0.4.

Apat na independyenteng mga putok ang nagpaputok sa target. Hanapin ang posibilidad na magkakaroon ng kahit isang hit sa target.

Pinag-aaralan namin ang problema at isulat ang mga parameter: $n=4$ (shot), $p=0.4$ (probability ng hit), $k \ge 1$ (magkakaroon ng kahit isang hit).

Ginagamit namin ang formula para sa posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan (walang hit):

$$ P_4(k \ge 1) = 1-P_4(k \lt 1) = 1-P_4(0)= $$ $$ =1-C_(4)^0 \cdot 0.4^0 \cdot 0 ,6 ^4 =1- 0.6^4=1- 0.13=0.87. $$

Ang posibilidad na matamaan ng hindi bababa sa isang beses sa apat ay 0.87 o 87%.

Halimbawa 3 Ang posibilidad na matamaan ang target ng tagabaril ay 0.3.

Hanapin ang posibilidad na sa 6 na putok ang target ay matatamaan ng tatlo hanggang anim na beses.

Hindi tulad ng mga nakaraang problema, dito kailangan mong hanapin ang posibilidad na ang bilang ng mga hit ay nasa isang tiyak na pagitan (at hindi eksaktong katumbas ng ilang numero). Ngunit ang formula ay pareho.

Hanapin natin ang posibilidad na matamaan ang target mula tatlo hanggang anim na beses, iyon ay, magkakaroon ng alinman sa 3, o 4, o 5, o 6 na mga hit.

Ang mga probabilidad na ito ay kinakalkula ng formula (1):

$$ P_6(3)=C_(6)^3 \cdot 0.3^3\cdot 0.7^3 = 0.185. $$ $$ P_6(4)=C_(6)^4 \cdot 0.3^4\cdot 0.7^2 = 0.06. $$ $$ P_6(5)=C_(6)^5 \cdot 0.3^5\cdot 0.7^1 = 0.01. $$ $$ P_6(6)=C_(6)^6 \cdot 0.3^6\cdot 0.7^0 = 0.001.

Dahil ang mga kaganapan ay hindi magkatugma, ang gustong probabilidad ay matatagpuan gamit ang probabilities addition formula: $$ P_6(3 \le k \le 6)=P_6(3)+P_6(4)+P_6(5)+P_6(6) =$$ $$ = 0.185+0.06+0.01+0.001=0.256.$$

Halimbawa 4 Ang posibilidad ng hindi bababa sa isang hit sa target na may apat na shot ay 0.9984. Hanapin ang posibilidad na matamaan ang target sa isang shot.

Ipahiwatig natin ang posibilidad na matamaan ang target sa isang shot. Pumasok tayo sa isang kaganapan:
$A = $ (Sa apat na putok, kahit isa lang ang tatama sa target),
pati na rin ang kabaligtaran nitong kaganapan, na maaaring isulat bilang:
$\overline(A) = $ (Lahat ng 4 na shot ay makakalampas sa target, walang mga hit).

Isulat natin ang formula para sa posibilidad ng kaganapang $A$.

Isulat natin ang mga kilalang halaga: $n=4$, $P(A)=0.9984$. Palitan sa formula (1) at makuha ang:

$$ P(A)=1-P(\overline(A))=1-P_4(0)=1-C_(4)^0 \cdot p^0 \cdot (1-p)^4=1- (1-p)^4=0.9984.

Malutas namin ang nagresultang equation:

$$ 1-(1-p)^4=0.9984,\\ (1-p)^4=0.0016,\\ 1-p=0.2,\\ p=0.8. $$

Kaya, ang posibilidad na matamaan ang target sa isang shot ay 0.8.

Salamat sa pagbabasa at pagbabahagi sa iba

kapaki-pakinabang na mga link

Maghanap ng mga handa na gawain sa solusyon:

Mga online na kalkulasyon gamit ang Bernoulli formula

Paglutas ng Inequality sa isang Calculator

Nalalapat ang hindi pagkakapantay-pantay sa matematika sa lahat ng equation kung saan ang "=" ay pinalitan ng alinman sa mga sumusunod na character: \ [> \] \ [\geq \] \ [

* linear;

* parisukat;

* fractional;

* nagpapakilala;

* trigonometriko;

* logarithmic.

Depende dito, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag na linear, partial, atbp.

Dapat mong malaman ang mga palatandaang ito:

* mga hindi pagkakapantay-pantay na may higit sa (>) o mas mababa sa (

* Ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga icon na mas malaki sa o katumbas ng \[\geq\] mas mababa sa o katumbas ng [\leq\] ay tinatawag na hindi propesyonal;

* ang icon ay hindi pareho \[\ne\] lamang, ngunit ang mga kaso na may ganitong icon ay kailangang lutasin sa lahat ng oras.

Ang ganitong hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas sa pamamagitan ng pagbabago ng mga pagkakakilanlan.

Basahin din ang aming artikulong "Solve the Complete Solution for an Online Equation"

Ipagpalagay natin na ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:

Malulutas natin ito sa parehong paraan tulad ng isang linear equation, ngunit dapat nating maingat na subaybayan ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay.

Una, inililipat namin ang mga termino mula sa hindi alam patungo sa kaliwa, mula sa kilala hanggang sa kanan, na binabaligtad ang mga simbolo:

Pagkatapos ay hatiin namin ang magkabilang panig sa pamamagitan ng -4 at baligtarin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay:

Ito ang sagot sa equation na ito.

Saan ko malulutas ang hindi pagkakapantay-pantay sa Internet?

Maaari mong lutasin ang equation sa aming website na pocketteacher.ru.

Bernoulli Inequality Calculator

Sa ilang segundo, malulutas ng isang libreng online na solusyon sa pagsagip ang isang online na equation ng anumang kumplikado. Ang kailangan mo lang gawin ay ilagay ang iyong mga detalye sa pagliligtas. Maaari ka ring manood ng mga tagubilin sa video at matutunan kung paano lutasin ang equation sa aming website.

At kung mayroon kang mga katanungan, maaari mong tanungin sila sa aming grupo ng Vkontakte: pocketteacher. Sumali sa aming grupo, ikalulugod naming tulungan ka.

Buong mathematical induction method

Paglutas ng Equation / Differential Equation

© RU test - mga online na calculator

Solusyon ng mga differential equation

Ipasok ang diff.

ang equation:

Gamit ang calculator maaari mong malutas ang mga differential equation ng iba't ibang kumplikado.

Mga Halimbawa ng Solved Differential Equation

Ministri ng Edukasyon ng Rehiyon ng Saratov

Saratov State Socio-Economic University

Panrehiyong kumpetisyon ng mga gawaing matematika at computer ng mga mag-aaral

"Vector ng Hinaharap - 2007"

"Paraan ng mathematical induction.

Ang aplikasyon nito sa paglutas ng mga problema sa algebraic"

(seksyon "matematika")

malikhaing gawain

10 "A" na mga mag-aaral sa klase

MOU "Gymnasium No. 1"

Oktyabrsky distrito ng Saratov

Harutyunyan Gayane.

Tagapamahala ng trabaho:

guro sa matematika

Grishina Irina Vladimirovna

Saratov

2007

Panimula……………………………………………………………………………………3

Ang prinsipyo ng mathematical induction at nito

patunay…………………………………………………………………………..4

Mga halimbawa ng paglutas ng suliranin…………………………………………………………………………..9

Konklusyon……………………………………………………………………………..16

Panitikan……………………………………………………………………………………17

Panimula.

Ang pamamaraan ng induction ng matematika ay maihahambing sa pag-unlad. Nagsisimula tayo mula sa pinakamababa, bilang resulta ng lohikal na pag-iisip ay narating natin ang pinakamataas. Ang tao ay palaging nagsusumikap para sa pag-unlad, para sa kakayahang paunlarin ang kanyang pag-iisip nang lohikal, na nangangahulugan na ang kalikasan mismo ay nagtalaga sa kanya na mag-isip nang pasaklaw at palakasin ang kanyang pag-iisip sa pamamagitan ng ebidensya na isinasagawa ayon sa lahat ng mga patakaran ng lohika.
Sa kasalukuyan, ang larangan ng aplikasyon ng pamamaraan ng matematikal na induction ay lumago, ngunit, sa kasamaang-palad, kaunting oras ang nakalaan dito sa kurikulum ng paaralan. Ngunit ito ay napakahalaga - ang makapag-isip nang pasaklaw.

Ang prinsipyo ng mathematical induction at ang patunay nito

Bumaling tayo sa kakanyahan ng pamamaraan ng induction ng matematika. Isaalang-alang natin ang iba't ibang mga pahayag. Maaari silang hatiin sa pangkalahatan at partikular.Magbigay tayo ng mga halimbawa ng pangkalahatang pahayag.

Lahat ng mamamayan ng Russia ay may karapatan sa edukasyon.

Sa anumang paralelogram, ang mga dayagonal sa punto ng intersection ay hinati.

Ang lahat ng mga numero na nagtatapos sa zero ay nahahati sa 5.

Mga nauugnay na halimbawa ng mga pribadong pahayag:

May karapatan si Petrov sa edukasyon.

Sa parallelogram ABCD, ang mga diagonal sa punto ng intersection ay nahahati.

Ang 140 ay nahahati sa 5.

Ang paglipat mula sa mga pangkalahatang pahayag patungo sa mga partikular ay tinatawag na pagbabawas (mula sa Latin deductio - konklusyon ayon sa mga patakaran ng lohika).

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng deductive inference.

Lahat ng mamamayan ng Russia ay may karapatan sa edukasyon. (isa)

Si Petrov ay isang mamamayan ng Russia. (2)

May karapatan si Petrov sa edukasyon. (3)

Mula sa pangkalahatang assertion (1) sa tulong ng (2) nakuha ang partikular na assertion (3).

Ang baligtad na paglipat mula sa partikular na mga pahayag patungo sa pangkalahatang mga pahayag ay tinatawag na induction (mula sa Latin pagtatalaga sa tungkulin - gabay).

Ang induction ay maaaring humantong sa parehong tama at maling konklusyon.

Ipaliwanag natin ito sa dalawang halimbawa.

Ang 140 ay nahahati sa 5. (1)

Ang lahat ng mga numero na nagtatapos sa zero ay nahahati sa 5. (2)

Ang 140 ay nahahati sa 5. (1)

Ang lahat ng tatlong-digit na numero ay nahahati sa 5. (2)

Mula sa partikular na pahayag (1) ang pangkalahatang pahayag (2) ay nakuha. Ang pahayag (2) ay totoo.

Ang pangalawang halimbawa ay nagpapakita kung paano ang isang pangkalahatang pahayag (3) ay maaaring makuha mula sa isang partikular na pahayag (1) , bukod pa rito, ang pahayag (3) ay hindi totoo.

Tanungin natin ang ating sarili kung paano gamitin ang induction sa matematika upang makakuha lamang ng mga tamang konklusyon. Isaalang-alang natin ang ilang mga halimbawa ng induction, na hindi katanggap-tanggap sa matematika.

Halimbawa 1.

Isaalang-alang ang isang parisukat na trinomial ng sumusunod na anyo Р(x)= x 2 + x + 41, na binigyang pansin ni Leonard Euler.

P(0) = 41, P(1) = 43, P(2) = 47, P(3) = 53, P(4) = 61, P(5) = 71, P(6) = 83, P (7) = 97, P(8) = 113, P(9)=131, P(10) = 151.

Nakikita natin na sa tuwing ang halaga ng trinomial ay isang prime number. Batay sa mga resultang nakuha, iginiit namin na kapag pinapalitan ang trinomial na isinasaalang-alang, sa halip na x Ang anumang hindi negatibong integer ay palaging nagreresulta sa isang prime number.

Gayunpaman, ang konklusyong iginuhit ay hindi maituturing na maaasahan. Anong problema? Ang katotohanan ay na sa pangangatwiran, ang mga pangkalahatang pahayag ay ginawa tungkol sa anumang x lamang sa batayan na ang pahayag na ito ay naging totoo para sa ilang mga halaga ng x.

Sa katunayan, sa mas malapit na pagsusuri sa trinomial na P(x), ang mga numerong P(0), P(1), ..., P(39) ay mga prime number, ngunit ang P(40) = 41 2 ay isang composite number. At medyo malinaw: P(41) = 41 2 +41+41 ay isang multiple ng 41.

Sa halimbawang ito, nakatagpo kami ng isang pahayag na totoo sa 40 espesyal na kaso ngunit naging hindi patas sa pangkalahatan.

Tingnan natin ang ilan pang halimbawa.

Halimbawa 2

Noong ika-17 siglo, si V.G. Pinatunayan ni Leibniz na para sa anumang natural na n, ang mga numero ng anyong n 3 - n ay multiple ng 3, n 5 - n ay multiple ng 5, n 7 - n ay multiple ng 7. Batay dito, iminungkahi niya na para sa anumang odd k at natural n, ang bilang n k - n multiple ng k, ngunit hindi nagtagal ay napansin niya mismo na 2 9 -2=510, na, malinaw naman, ay hindi nahahati ng 9.

Ang isinasaalang-alang na mga halimbawa ay nagbibigay-daan sa amin upang makagawa ng isang mahalagang konklusyon: ang isang pahayag ay maaaring totoo sa isang bilang ng mga espesyal na kaso at sa parehong oras ay hindi makatarungan sa pangkalahatan.

Ang tanong ay natural na lumitaw: mayroong isang pahayag na totoo sa ilang mga espesyal na kaso; imposibleng isaalang-alang ang lahat ng mga espesyal na kaso; paano mo malalaman kung totoo ang pahayag na ito?

Ang tanong na ito kung minsan ay maaaring malutas sa pamamagitan ng paglalapat ng isang espesyal na paraan ng pangangatwiran na tinatawag na paraan ng matematikal na induction. Ang pamamaraang ito ay batay sa prinsipyo ng mathematical induction, natapos sa sumusunod: ang pahayag ay totoo para sa anumang natural n kung:

ito ay may bisa para sa n = 1;

mula sa bisa ng pahayag para sa ilang di-makatwirang natural n =k , ito ay sumusunod na ito ay totoo para sa n = k +1.

Patunay.

Ipagpalagay ang kabaligtaran, iyon ay, hayaan ang pahayag ay totoo hindi para sa bawat natural n. Pagkatapos ay mayroong isang natural na numero m tulad na

ang pahayag para sa n =m ay hindi totoo,

para sa lahat n

Malinaw na ang m >1, dahil totoo ang assertion para sa n =1 (kondisyon 1). Samakatuwid, ang m -1 ay isang natural na numero. Para sa isang natural na numero m -1 ang pahayag ay totoo, ngunit para sa susunod na natural na bilang m ito ay hindi totoo. Ito ay sumasalungat sa kondisyon 2. Ang resultang kontradiksyon ay nagpapakita na ang palagay ay mali. Samakatuwid, ang assertion ay totoo para sa anumang natural n, h.e.d.

Ang isang patunay batay sa prinsipyo ng mathematical induction ay tinatawag na isang patunay sa pamamagitan ng pamamaraan ng mathematical induction. Ang nasabing patunay ay dapat na binubuo ng dalawang bahagi, mula sa patunay ng dalawang independiyenteng theorems.

Teorama 1. Ang pahayag ay totoo para sa n =1.

Teorama 2. Ang pahayag ay totoo para sa n =k +1 kung ito ay totoo para sa n=k, kung saan ang k ay isang arbitraryong natural na numero.

Kung ang parehong mga teorema ay napatunayan, kung gayon, batay sa prinsipyo ng matematikal na induction, ang pahayag ay totoo para sa anumang
natural n .

Dapat bigyang-diin na ang patunay sa pamamagitan ng mathematical induction ay tiyak na nangangailangan ng patunay ng parehong Theorems 1 at 2. Ang pagpapabaya sa Theorem 2 ay humahantong sa maling konklusyon (halimbawa 1-2). Ipakita natin sa pamamagitan ng isang halimbawa kung gaano kinakailangan ang patunay ng Theorem 1.

Halimbawa 3. "Theorem": bawat natural na numero ay katumbas ng natural na bilang na sumusunod dito.

Ang patunay ay isasagawa sa pamamagitan ng paraan ng mathematical induction.

Ipagpalagay na ang k = k +1 (1).

Patunayan natin na ang k +1=k +2 (2). Upang gawin ito, magdagdag ng 1 sa bawat bahagi ng "pagkakapantay-pantay" (1). Nakukuha namin ang "pagkakapantay-pantay" (2). Ito ay lumalabas na kung ang pahayag ay totoo para sa n =k , kung gayon ito ay totoo rin para sa n =k +1., atbp.

Isang halatang "kinahinatnan" mula sa "teorem": lahat ng natural na numero ay pantay.

Ang error ay nakasalalay sa katotohanan na ang Theorem 1, na kinakailangan para sa paglalapat ng prinsipyo ng mathematical induction, ay hindi napatunayan at hindi totoo, ngunit ang pangalawang teorama lamang ang napatunayan.

Ang theorems 1 at 2 ay partikular na kahalagahan.

Ang Theorem 1 ay lumilikha ng batayan para sa induction. Ang Theorem 2 ay nagbibigay ng karapatan sa walang limitasyong awtomatikong pagpapalawak ng base na ito, ang karapatang lumipat mula sa partikular na kaso na ito patungo sa susunod, mula n hanggang n + 1.

Kung ang Theorem 1 ay hindi pa napatunayan, ngunit ang Theorem 2 ay napatunayan, kung gayon, samakatuwid, ang batayan para sa induction ay hindi pa nilikha, at pagkatapos ay walang saysay na ilapat ang Theorem 2, dahil mayroong, sa katunayan, walang dapat palawakin.

Kung ang Theorem 2 ay hindi napatunayan, at ang Theorem 1 lamang ang napatunayan, kung gayon, kahit na ang batayan para sa pagsasagawa ng induction ay nilikha, ang karapatang palawakin ang base na ito ay wala.

Remarks.

Minsan ang ikalawang bahagi ng patunay ay batay sa bisa ng pahayag hindi lamang para sa n =k, kundi pati na rin para sa n =k -1. Sa kasong ito, ang pahayag sa unang bahagi ay dapat na masuri para sa susunod na dalawang halaga ng n .

Minsan ang pahayag ay pinatunayan hindi para sa anumang natural n , ngunit para sa n > m , kung saan ang m ay ilang integer. Sa kasong ito, sa unang bahagi ng patunay, ang assertion ay napatunayan para sa n =m +1, at kung kinakailangan, para sa ilang kasunod na mga halaga ng n.

Ang pagbubuod sa kung ano ang sinabi, mayroon tayo: ang paraan ng matematikal na induction ay nagpapahintulot, sa paghahanap ng isang pangkalahatang batas, na subukan ang mga hypotheses na lumitaw sa kasong ito, itapon ang mga mali at igiit ang totoo.

Alam ng lahat ang papel ng mga proseso ng pag-generalize ng mga resulta ng mga indibidwal na obserbasyon at eksperimento (ibig sabihin, induction) para sa empirical, eksperimental na agham. Ang matematika, sa kabilang banda, ay matagal nang itinuturing na isang klasikong halimbawa ng pagpapatupad ng mga purong deduktibong pamamaraan, dahil laging tahasan o implicit na ipinapalagay na ang lahat ng mga proposisyon sa matematika (maliban sa mga tinanggap bilang mga paunang - axiom) ay napatunayan, at mga partikular na aplikasyon. ng mga proposisyong ito ay hinango mula sa mga patunay na angkop para sa mga pangkalahatang kaso (bawas).

Ano ang ibig sabihin ng induction sa matematika? Dapat ba itong maunawaan bilang isang hindi lubos na maaasahang pamamaraan, at kung paano maghanap ng isang pamantayan para sa pagiging maaasahan ng naturang mga pamamaraan ng pasaklaw? O ang katiyakan ng mga konklusyon sa matematika na kapareho ng mga pang-eksperimentong paglalahat ng mga pang-eksperimentong agham, nang sa gayon ay hindi masamang "i-verify" ang anumang napatunayang katotohanan? Sa katotohanan, hindi ito ang kaso.

Ang induction (guidance) sa isang hypothesis ay gumaganap ng isang napakahalaga ngunit purong heuristic na papel sa matematika: pinapayagan nito ang isa na hulaan kung ano ang dapat na solusyon. Ngunit ang mga proposisyong matematikal ay itinatag lamang nang deduktibo. At ang paraan ng mathematical induction ay isang purong deductive na paraan ng patunay. Sa katunayan, ang patunay na isinagawa ng pamamaraang ito ay binubuo ng dalawang bahagi:

ang tinatawag na "batayan" - isang deduktibong patunay ng nais na pangungusap para sa isa (o ilang) natural na mga numero;

isang pasaklaw na hakbang na binubuo ng isang deduktibong patunay ng isang pangkalahatang pahayag. Ang teorama ay tiyak na napatunayan para sa lahat ng mga natural na numero. Mula sa batayan na napatunayan, halimbawa, para sa numero 0, nakukuha namin, sa pamamagitan ng hakbang sa induction, ang patunay para sa numero 1, pagkatapos ay sa parehong paraan para sa 2, para sa 3 ... - at sa gayon ang pahayag ay maaaring makatwiran para sa anumang natural na numero.

Sa madaling salita, ang pangalan na "mathematical induction" ay dahil sa katotohanan na ang pamamaraang ito ay iniuugnay lamang sa ating isipan sa tradisyonal na inductive na pangangatwiran (pagkatapos ng lahat, ang batayan ay talagang napatunayan lamang para sa isang partikular na kaso); ang inductive step, sa kaibahan sa plausibility criteria ng inductive reasoning batay sa karanasan sa natural at social sciences, ay isang pangkalahatang pahayag na hindi nangangailangan ng anumang partikular na premise at pinatutunayan ayon sa mahigpit na canon ng deductive reasoning. Samakatuwid, ang mathematical induction ay tinatawag na "kumpleto" o "perpekto", dahil ito ay isang deduktibo, ganap na maaasahang paraan ng patunay.

Mga halimbawa ng solusyon sa problema

Induction sa algebra

Isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng mga problema sa algebraic, pati na rin ang patunay ng iba't ibang hindi pagkakapantay-pantay na maaaring malutas gamit ang paraan ng matematikal na induction.

Gawain 1. Hulaan ang formula para sa kabuuan at patunayan ito.

PERO( n )= 2  1 2 + 3 2 2 + …..+(n +1) n 2 .

Solusyon.

1. Ibahin natin ang expression para sa kabuuan А(n):

A(n)= 2  1 2 + 3  2 2 + ….+ (n+1) n 2 = (1+1) 1 2 + (2+1) 2 2 + …. + (n+1) n 2 = =1  1 2 + 2  2 2 + …+n  n 2 + 1 2 + 2 2 +… +n 2 =1 3 + 2 3 +… +n 3 +1 2 + 2 2 +… +n 2 = В(n) + C(n), kung saan B(n) = 1 3 + 2 3 + …..+ n 3 , C(n)= 1 2 + 2 2 + …+ n 2 .

2. Isaalang-alang ang mga kabuuan C (n) at B (n).

a) C( n ) = 1 2 + 2 2 +…+ n 2 . Isa sa mga madalas na nakakaharap na mga problema sa paraan ng matematikal na induction ay upang patunayan na para sa anumang natural n , ang pagkakapantay-pantay

1 2 + 2 2 +…+ n 2 = (1)

Ipagpalagay na ang (1) ay totoo para sa lahat ng n  N.

b ) B(n) = 1 3 + 2 3 + …..+ n 3 . Pagmasdan natin kung paano nagbabago ang mga halaga ng B (n) depende sa n.

B(1) = 1 3 = 1 .

B(2) = 1 3 + 2 3 = 9 = 3 2 = (1 + 2) 2

B(3) = 1 3 + 2 3 + 3 3 = 36 =

Kaya, maaari itong ipagpalagay na
B (n) = (1 + 2 + ….+ n) 2 =
(2)

c) Bilang resulta, para sa kabuuan na А(n) na nakukuha natin

PERO( n ) ==

= (*)

3. Patunayan natin ang nakuhang formula (*) sa pamamagitan ng paraan ng mathematical induction.

a) suriin ang pagkakapantay-pantay (*) para sa n = 1.

A(1) = 2  =2,

Malinaw, ang formula (*) ay totoo para sa n = 1.

b) ipagpalagay na ang formula (*) ay totoo para sa n=k , kung saan k N, iyon ay, ang pagkakapantay-pantay

A(k)=

Batay sa palagay, patunayan natin ang bisa ng formula para sa n =k +1. Talaga,

A(k+1)=

Dahil ang formula (*) ay totoo para sa n =1, at mula sa pagpapalagay na ito ay totoo para sa ilang natural na k , ito ay sumusunod na ito ay totoo para sa n =k +1, batay sa prinsipyo ng mathematical induction ay napagpasyahan namin na ang pagkakapantay-pantay

humahawak para sa anumang natural n .

Gawain 2.

Kalkulahin ang kabuuan 1-2 + 3-4 +…(-1) n -1 n .

Solusyon.

Isulat natin ang mga halaga ng mga kabuuan para sa magkakaibang mga halaga ng n nang sunud-sunod.

A(1)=1, A(2)=1-2= -1, A(3)=1-2+3=2, A(4)=1-2+3-4= -2,

A(5)=1-2+3-4+5=3, A(6)=1-2+3-4+5-6= -3.

Sa pagmamasid sa pattern, maaari nating ipagpalagay na A (n)= - para sa kahit na n at A (n)=
para sa kakaiba n. Pagsamahin natin ang parehong mga resulta sa isang solong formula:

A(n) =
, kung saan ang r ay ang natitira sa paghahati ng n sa 2.

At r , ay malinaw na tinutukoy ng sumusunod na panuntunan

0 kung n ay pantay,

r=

1 kung n ay kakaiba.

Pagkatapos r(maaaring hulaan) ay maaaring katawanin bilang:

Sa wakas nakuha namin ang formula para sa A (n):

A(n)=

(*)

Patunayan natin ang pagkakapantay-pantay (*) para sa lahat ng n  N paraan ng mathematical induction.

2. a) Suriin ang pagkakapantay-pantay (*) para sa n =1. A(1) = 1=

Ang pagkakapantay-pantay ay patas

b) Ipagpalagay na ang pagkakapantay-pantay

1-2+3-4+…+(-1) n-1 n=

totoo sa n=k. Patunayan natin na ito ay wasto din para sa n =k + 1, i.e.

A(k+1)=

talaga,

A(k+1)=A(k)+(-1) k (k+1) =

=

Q.E.D.

Ang paraan ng mathematical induction ay ginagamit din upang malutas ang mga problema sa divisibility.

Gawain 3.

Patunayan na ang bilang N (n)=n 3 + 5n ay nahahati sa 6 para sa anumang natural na n.

Patunay.

Sa n =1 ang bilang N (1)=6 at samakatuwid ang pahayag ay totoo.

Hayaang ang bilang na N (k )=k 3 +5k ay nahahati ng 6 para sa ilang natural na k. Patunayan natin na ang N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1) ay nahahati ng 6. Sa katunayan, mayroon kami
N (k +1)= (k +1) 3 + 5(k +1)=(k 3 +5k )+3k (k +1)+6.

Dahil ang Ang k at k +1 ay magkatabing natural na mga numero, kung gayon ang isa sa mga ito ay kinakailangang pantay, kaya ang expression na 3k (k +1) ay nahahati sa 6. Kaya, nakuha namin na ang N (k +1) ay nahahati din ng 6. Output numero N (n)=n 3 + 5n ay nahahati sa 6 para sa anumang natural na n.

Isaalang-alang ang solusyon ng isang mas kumplikadong problema sa divisibility, kapag ang paraan ng kumpletong mathematical induction ay kailangang ilapat nang maraming beses.

Gawain 4.

Patunayan na para sa anumang natural n ang numero
ay hindi kahit na mahahati ng 2 n +3 .

Patunay.

Imagine
sa anyo ng isang akda
=

= (*)

Sa pamamagitan ng pagpapalagay, ang unang salik sa (*) ay hindi pantay na nahahati sa bilang na 2 k +3 , iyon ay, sa representasyon ng isang pinagsama-samang numero
sa anyo ng isang produkto ng mga prime number, ang numero 2 ay inuulit nang hindi hihigit sa (k + 2) beses. Kaya upang patunayan na ang bilang
ay hindi nahahati ng 2 k +4 , dapat nating patunayan iyon
ay hindi nahahati sa 4.

Upang patunayan ang assertion na ito, pinatutunayan namin ang isang auxiliary assertion: para sa anumang natural na n, ang bilang na 3 2 n +1 ay hindi nahahati ng 4. Para sa n =1, ang assertion ay halata, dahil ang 10 ay hindi nahahati ng 4 na walang natitira. Ipagpalagay na ang 3 2 k +1 ay hindi mahahati ng 4, pinatutunayan namin na ang 3 2(k +1) +1 ay hindi rin mahahati.
sa pamamagitan ng 4. Katawanin natin ang huling expression bilang kabuuan:

3 2(k+1) +1=3 2k+2 +1=3 2k * 9+1=(3 2k +1)+8 * 3 2k . Ang pangalawang termino ng kabuuan ay nahahati sa 4, ngunit ang una ay hindi mahahati. Samakatuwid, ang buong kabuuan ay hindi mahahati ng 4 nang walang natitira. Ang auxiliary assertion ay napatunayan.

Ngayon ay malinaw na iyon
ay hindi nahahati sa 4 dahil ang 2k ay isang even na numero.

Sa wakas, nakuha namin ang numero
ay hindi pantay na nahahati ng 2 n +3 para sa anumang natural n .

Isaalang-alang ngayon ang isang halimbawa ng paglalapat ng induction sa patunay ng hindi pagkakapantay-pantay.

Gawain 5.

Para sa aling natural n ang hindi pagkakapantay-pantay 2 n > 2n + 1 ay totoo?

Solusyon.

1. Kailan n=1 2 1< 2*1+1,

sa n=2 2 2< 2*2+1,

sa n =3 2 3 > 2*3+1,

sa n =4 2 4 > 2*4+1.

Tila, ang hindi pagkakapantay-pantay ay wasto para sa anumang natural n  3. Patunayan natin ang assertion na ito.

2. Kailan n =3 naipakita na ang bisa ng hindi pagkakapantay-pantay. Ngayon hayaan ang hindi pagkakapantay-pantay na maging wasto para sa n =k , kung saan ang k ay ilang natural na bilang na hindi bababa sa 3, i.e.

2 k > 2k+1 (*)

Patunayan natin na ang hindi pagkakapantay-pantay ay wasto din para sa n =k +1, ibig sabihin, 2 k +1 >2(k +1)+1. Multiply (*) sa 2, makakakuha tayo ng 2 k +1 >4k +2. Ihambing natin ang mga expression na 2(k +1)+1 at 4k +2.

4k+2-(2(k+1)+1)=2k-1. Malinaw, 2k -1>0 para sa anumang natural na k . Pagkatapos ay 4k +2>2(k +1)+1, ibig sabihin. 2k+1 >2(k+1)+1. Napatunayan na ang assertion.

Gawain 6.

Inequality para sa arithmetic mean at geometric mean ng n non-negative na numero (Cauchy's inequality)., nakukuha namin =

Kung hindi bababa sa isa sa mga numero
ay katumbas ng zero, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay (**) ay wasto din.

Konklusyon.

Sa paggawa ng gawain, pinag-aralan ko ang kakanyahan ng pamamaraan ng induction ng matematika at ang patunay nito. Ang papel ay nagpapakita ng mga problema kung saan ang isang mahalagang papel ay ginampanan ng hindi kumpletong induction na humahantong sa tamang solusyon, at pagkatapos ay isang patunay na nakuha gamit ang paraan ng mathematical induction ay isinasagawa.

Panitikan.

Boltyansky V.G., Sidorov Yu.V., Shaburin M.I. Mga lektura at problema sa elementarya na matematika; Agham, 1974.

Vilenkin N.Ya. , Shvartburd S.I. Pagsusuri sa matematika.-
M.: Edukasyon, 1973.

Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Malalim na pag-aaral ng kurso ng algebra at mathematical analysis - M .: Education, 1990.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I. Algebra at pagsusuri ng elementarya function.- M.: Nauka, 1980.

Sominsky I.S., Golovina M.L., Yaglom I.M. Sa mathematical induction. - M.: Nauka, 1967.

Paraan ng mathematical induction

Panimula

Pangunahing bahagi

1. Kumpleto at hindi kumpletong induction
2. Prinsipyo ng mathematical induction
3. Paraan ng mathematical induction
4. Solusyon ng mga halimbawa
5. Pagkakapantay-pantay
6. Dibisyon ng numero
7. hindi pagkakapantay-pantay

Konklusyon

Listahan ng ginamit na panitikan

Panimula

Ang mga pamamaraang deduktibo at pasaklaw ay ang batayan ng anumang pananaliksik sa matematika. Ang deduktibong paraan ng pangangatwiran ay pangangatwiran mula sa pangkalahatan hanggang sa partikular, i.e. pangangatwiran, ang panimulang punto kung saan ay ang pangkalahatang resulta, at ang huling punto ay ang partikular na resulta. Ang induction ay inilalapat kapag pumasa mula sa mga partikular na resulta sa pangkalahatan, i.e. ay kabaligtaran ng pamamaraang deduktibo.

Ang pamamaraan ng induction ng matematika ay maihahambing sa pag-unlad. Nagsisimula tayo mula sa pinakamababa, bilang resulta ng lohikal na pag-iisip ay narating natin ang pinakamataas. Ang tao ay palaging nagsusumikap para sa pag-unlad, para sa kakayahang paunlarin ang kanyang pag-iisip nang lohikal, na nangangahulugan na ang kalikasan mismo ang nagtakda sa kanya na mag-isip nang pasaklaw.

Kahit na ang larangan ng aplikasyon ng pamamaraan ng matematikal na induction ay lumago, maliit na oras ang nakalaan dito sa kurikulum ng paaralan. Buweno, sabihin na ang isang kapaki-pakinabang na tao ay dadalhin ng dalawa o tatlong aralin kung saan siya nakarinig ng limang salita ng teorya, malulutas ang limang primitive na problema, at, bilang isang resulta, makakakuha ng lima para sa walang alam.

Ngunit ito ay napakahalaga - ang makapag-isip nang pasaklaw.

Pangunahing bahagi

Sa orihinal na kahulugan nito, ang salitang "induction" ay inilapat sa pangangatwiran kung saan ang mga pangkalahatang konklusyon ay nakuha batay sa isang bilang ng mga partikular na pahayag. Ang pinakasimpleng paraan ng pangangatwiran ng ganitong uri ay kumpletong induction. Narito ang isang halimbawa ng gayong pangangatwiran.

Hayaang kailanganin na itatag na ang bawat natural na even na numero n sa loob ng 4< n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Ang siyam na pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapakita na ang bawat isa sa mga bilang ng interes sa atin ay talagang kinakatawan bilang kabuuan ng dalawang pangunahing termino.

Kaya, ang kumpletong induction ay ang pangkalahatang pahayag ay pinatunayan nang hiwalay sa bawat isa sa isang tiyak na bilang ng mga posibleng kaso.

Minsan ang pangkalahatang resulta ay maaaring mahulaan pagkatapos isaalang-alang ang hindi lahat, ngunit sa halip ay isang malaking bilang ng mga espesyal na kaso (ang tinatawag na hindi kumpletong induction).

Ang resulta na nakuha sa pamamagitan ng hindi kumpletong induction, gayunpaman, ay nananatiling isang hypothesis lamang hanggang sa ito ay mapatunayan ng eksaktong matematikal na pangangatwiran, na sumasaklaw sa lahat ng mga espesyal na kaso. Sa madaling salita, ang hindi kumpletong induction sa matematika ay hindi itinuturing na isang lehitimong pamamaraan ng mahigpit na patunay, ngunit isang makapangyarihang paraan para sa pagtuklas ng mga bagong katotohanan.

Hayaan, halimbawa, kinakailangan upang mahanap ang kabuuan ng unang n magkakasunod na kakaibang numero. Isaalang-alang ang mga espesyal na kaso:

1+3+5+7+9=25=5 2

Matapos isaalang-alang ang ilang mga espesyal na kaso, ang sumusunod na pangkalahatang konklusyon ay nagmumungkahi mismo:

1+3+5+…+(2n-1)=n 2

mga. ang kabuuan ng unang n magkakasunod na kakaibang numero ay n 2

Siyempre, ang obserbasyon na ginawa ay hindi pa magsisilbing patunay ng bisa ng formula sa itaas.

Ang kumpletong induction ay may mga limitadong aplikasyon lamang sa matematika. Maraming kawili-wiling mathematical na pahayag ang sumasaklaw sa walang katapusang bilang ng mga espesyal na kaso, at hindi namin masusubok ang walang katapusang bilang ng mga kaso. Ang hindi kumpletong induction ay kadalasang humahantong sa mga maling resulta.

Sa maraming mga kaso, ang paraan sa labas ng ganitong uri ng kahirapan ay ang paggamit ng isang espesyal na paraan ng pangangatwiran, na tinatawag na paraan ng matematikal na induction. Ito ay ang mga sumusunod.

Hayaang kailanganin na patunayan ang bisa ng isang tiyak na pahayag para sa anumang natural na numero n (halimbawa, kinakailangan upang patunayan na ang kabuuan ng unang n odd na mga numero ay katumbas ng n 2). Ang direktang pag-verify ng pahayag na ito para sa bawat halaga ng n ay imposible, dahil ang hanay ng mga natural na numero ay walang katapusan. Upang patunayan ang pahayag na ito, suriin muna ang bisa nito para sa n=1. Pagkatapos ay pinatunayan na para sa anumang likas na halaga ng k, ang bisa ng pahayag na isinasaalang-alang para sa n=k ay nagpapahiwatig din ng bisa nito para sa n=k+1.

Pagkatapos ang assertion ay itinuturing na napatunayan para sa lahat ng n. Sa katunayan, ang pahayag ay totoo para sa n=1. Ngunit pagkatapos ay may bisa rin ito para sa susunod na numero n=1+1=2. Ang bisa ng assertion para sa n=2 ay nagpapahiwatig ng bisa nito para sa n=2+

1=3. Ito ay nagpapahiwatig ng bisa ng pahayag para sa n=4, at iba pa. Malinaw na, sa huli, maaabot natin ang anumang natural na bilang n. Samakatuwid, ang pahayag ay totoo para sa anumang n.

Sa pagbubuod ng sinabi, binubuo namin ang sumusunod na pangkalahatang prinsipyo.

Ang prinsipyo ng mathematical induction.

Kung ang pangungusap na A(n), na nakasalalay sa isang natural na bilang n, ay totoo para sa n=1, at mula sa katotohanang ito ay totoo para sa n=k (kung saan ang k ay anumang natural na numero), ito ay sumusunod na ito ay true para sa susunod na numero n=k +1, kung gayon ang Assumption A(n) ay totoo para sa anumang natural na numero n.

Sa ilang mga kaso, maaaring kailanganing patunayan ang bisa ng isang tiyak na pahayag hindi para sa lahat ng natural na numero, ngunit para lamang sa n>p, kung saan ang p ay isang nakapirming natural na numero. Sa kasong ito, ang prinsipyo ng mathematical induction ay nabuo bilang mga sumusunod.

Kung totoo ang proposisyon A(n) para sa n=p at kung A(k)ÞA(k+1) para sa anumang k>p, totoo ang proposisyon A(n) para sa anumang n>p.

Ang patunay sa pamamagitan ng paraan ng mathematical induction ay isinasagawa bilang mga sumusunod. Una, ang assertion na patunayan ay sinusuri para sa n=1, ibig sabihin, ang katotohanan ng pahayag A(1) ay itinatag. Ang bahaging ito ng patunay ay tinatawag na batayan ng induction. Sinusundan ito ng isang bahagi ng patunay na tinatawag na induction step. Sa bahaging ito, ang bisa ng pahayag para sa n=k+1 ay pinatutunayan sa ilalim ng pagpapalagay na ang pahayag ay totoo para sa n=k (ang inductive assumption), i.e. patunayan na A(k)ÞA(k+1).

Patunayan na 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .

Solusyon: 1) Mayroon kaming n=1=1 2 . Dahil dito,

ang pahayag ay totoo para sa n=1, ibig sabihin. A(1) ay totoo.

2) Patunayan natin na A(k)ÞA(k+1).

Hayaang k ang anumang natural na numero at hayaang maging totoo ang pahayag para sa n=k, i.e.

1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

Patunayan natin na kung gayon ang assertion ay totoo din para sa susunod na natural na numero n=k+1, i.e. Ano

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

talaga,

1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

Kaya A(k)ÞA(k+1). Batay sa prinsipyo ng mathematical induction, napagpasyahan namin na ang Assumption A(n) ay totoo para sa anumang nОN.

Patunayan mo yan

1+x+x 2 +x 3 +…+x n =(x n+1 -1)/(x-1), kung saan ang x¹1

Solusyon: 1) Para sa n=1 nakukuha natin

1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

samakatuwid, para sa n=1 ang formula ay totoo; A(1) ay totoo.

2) Hayaang k ang anumang natural na numero at hayaang maging totoo ang formula para sa n=k, i.e.

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x k \u003d (x k + 1 -1) / (x-1).

Patunayan natin na pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

Sa totoo lang

1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).

Kaya A(k)ÞA(k+1). Batay sa prinsipyo ng mathematical induction, napagpasyahan namin na ang formula ay totoo para sa anumang natural na numero n.

Patunayan na ang bilang ng mga dayagonal ng isang matambok n-gon ay n(n-3)/2.

Solusyon: 1) Para sa n=3, ang pahayag ay totoo

At ang 3 ay tama, dahil sa isang tatsulok

 A 3 =3(3-3)/2=0 diagonal;

A 2 A(3) ay totoo.

2) Ipagpalagay na sa anumang

matambok k-gon ay may-

A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 diagonal.

A k Patunayan natin na pagkatapos ay sa isang matambok

(k+1)-gon na numero

diagonal A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

Hayaang А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -matambok (k+1)-anggulo. Gumuhit tayo ng dayagonal na A 1 A k dito. Upang mabilang ang kabuuang bilang ng mga diagonal nito (k + 1)-gon, kailangan mong bilangin ang bilang ng mga diagonal sa k-gon A 1 A 2 ...A k , idagdag ang k-2 sa resultang numero, i.e. ang bilang ng mga diagonal ng (k+1)-gon na nagmumula sa vertex A k+1 , at, bilang karagdagan, ang dayagonal na A 1 A k ay dapat isaalang-alang.

Sa ganitong paraan,

 k+1 = k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.

Kaya A(k)ÞA(k+1). Dahil sa prinsipyo ng mathematical induction, ang pahayag ay totoo para sa anumang convex n-gon.

Patunayan na para sa anumang n ang pahayag ay totoo:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.

Solusyon: 1) Hayaan n=1, pagkatapos

X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1.

Samakatuwid, para sa n=1 ang pahayag ay totoo.

2) Ipagpalagay na n=k

X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6.

3) Isaalang-alang ang pahayag na ito para sa n=k+1

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k (k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

Napatunayan namin ang bisa ng pagkakapantay-pantay para sa n=k+1, samakatuwid, sa bisa ng paraan ng mathematical induction, ang pahayag ay totoo para sa anumang natural n.

Patunayan na para sa anumang natural n ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

Solusyon: 1) Hayaan n=1.

Pagkatapos X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

Nakikita natin na para sa n=1 ang pahayag ay totoo.

2) Ipagpalagay na ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa n=k

X k \u003d k 2 (k + 1) 2 / 4.

3) Patunayan natin ang katotohanan ng pahayag na ito para sa n=k+1, i.e.

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.

Mula sa patunay sa itaas ay malinaw na ang pahayag ay totoo para sa n=k+1, samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa anumang natural na n.

Patunayan mo yan

((2 3 +1)/(2 3 -1))´((3 3 +1)/(3 3 -1))´…´((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), kung saan n>2.

Solusyon: 1) Para sa n=2 ang pagkakakilanlan ay mukhang: (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3´2´3)/2(2 2 +2+1),

mga. ito ay tama.

2) Ipagpalagay na ang expression ay totoo para sa n=k

(2 3 +1)/(2 3 -1)´…´(k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1).

3) Papatunayan natin ang kawastuhan ng expression para sa n=k+1.

(((2 3 +1)/(2 3 -1))´…´((k 3 +1)/(k 3 -1)))´(((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1))´((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2´

´((k+1) 2 +(k+1)+1).

Napatunayan namin ang bisa ng pagkakapantay-pantay para sa n=k+1, samakatuwid, dahil sa paraan ng mathematical induction, ang pahayag ay totoo para sa anumang n>2

Patunayan mo yan

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)

para sa anumang natural n.

Solusyon: 1) Hayaan n=1, pagkatapos

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.

2) Ipagpalagay na n=k, kung gayon

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3).

3) Patunayan natin ang katotohanan ng pahayag na ito para sa n=k+1

(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3).

Ang bisa ng pagkakapantay-pantay para sa n=k+1 ay napatunayan din, samakatuwid ang pahayag ay totoo para sa anumang natural na bilang n.

Patunayan ang bisa ng pagkakakilanlan

(1 2 /1´3)+(2 2 /3´5)+…+(n 2 /(2n-1)´(2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)

para sa anumang natural n.

1) Para sa n=1 ang pagkakakilanlan ay totoo 1 2 /1´3=1(1+1)/2(2+1).

2) Ipagpalagay na para sa n=k

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)´(2k+1))=k(k+1)/2(2k+1).

3) Patunayan natin na totoo ang pagkakakilanlan para sa n=k+1.

(1 2 /1´3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1))´((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2)´ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (k+2)/2(2(k+1)+1).

Ito ay makikita mula sa itaas na patunay na ang assertion ay totoo para sa anumang natural na bilang n.

Patunayan na ang (11 n+2 +12 2n+1) ay nahahati sa 133 nang walang natitira.

Solusyon: 1) Hayaan n=1, pagkatapos

11 3 +12 3 \u003d (11 + 12) (11 2 -132 + 12 2) \u003d 23´133.

Ngunit ang (23'133) ay nahahati sa 133 na walang nalalabi, kaya para sa n=1 ang pahayag ay totoo; A(1) ay totoo.

2) Ipagpalagay na ang (11 k+2 +12 2k+1) ay nahahati sa 133 nang walang nalalabi.

3) Patunayan natin iyan sa kasong ito

(11 k+3 +12 2k+3) ay nahahati sa 133 nang walang nalalabi. Sa katunayan, 11 k+3 +12 2k+3 =11´11 k+2 +12 2´ 12 2k+1 =11´11 k+2 +

+(11+133)´12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133´12 2k+1 .

Ang resultang kabuuan ay nahahati sa 133 na walang nalalabi, dahil ang unang termino nito ay nahahati sa 133 na walang nalalabi sa pamamagitan ng pagpapalagay, at sa pangalawa sa mga salik ay 133. Kaya, А(k)ÞА(k+1). Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, napatunayan ang assertion.

Patunayan na para sa anumang n 7 n -1 ay nahahati sa 6 na walang natitira.

Solusyon: 1) Hayaan ang n=1, pagkatapos ay ang X 1 =7 1 -1=6 ay hinati sa 6 na walang natitira. Kaya para sa n=1 ang pahayag ay totoo.

2) Ipagpalagay na para sa n=k

Ang 7 k -1 ay nahahati sa 6 na walang nalalabi.

3) Patunayan natin na ang pahayag ay totoo para sa n=k+1.

X k+1 =7 k+1 -1=7'7 k -7+6=7(7 k -1)+6.

Ang unang termino ay nahahati sa 6, dahil ang 7 k -1 ay nahahati sa 6 sa pamamagitan ng pagpapalagay, at ang pangalawang termino ay 6. Kaya ang 7 n -1 ay isang multiple ng 6 para sa anumang natural na n. Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, napatunayan ang assertion.

Patunayan na ang 3 3n-1 +2 4n-3 para sa arbitrary na natural n ay nahahati ng 11.
Solusyon: 1) Hayaan n=1, pagkatapos

X 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11 ay nahahati sa 11 nang walang natitira. Samakatuwid, para sa n=1 ang pahayag ay totoo.

2) Ipagpalagay na para sa n=k

Ang X k \u003d 3 3k-1 +2 4k-3 ay nahahati sa 11 nang walang natitira.

3) Patunayan natin na ang pahayag ay totoo para sa n=k+1.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3´ 3 3k-1 +2 4´ 2 4k-3 =

27´3 3k-1 +16´2 4k-3 =(16+11)´3 3k-1 +16´2 4k-3 =16´3 3k-1 +

11'3 3k-1 +16'2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11'3 3k-1 .

Ang unang termino ay nahahati ng 11 nang walang natitira, dahil ang 3 3k-1 +2 4k-3 ay nahahati sa 11 sa pamamagitan ng pagpapalagay, ang pangalawa ay nahahati ng 11, dahil ang isa sa mga kadahilanan nito ay ang numero 11. Kaya, ang kabuuan ay mahahati din ng 11 na walang natitira para sa anumang natural n. Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, napatunayan ang assertion.

Patunayan na ang 11 2n -1 para sa isang arbitrary positive integer n ay nahahati ng 6 na walang nalalabi.

Solusyon: 1) Hayaang n=1, pagkatapos ay 11 2 -1=120 ay nahahati sa 6 na walang nalalabi. Kaya para sa n=1 ang pahayag ay totoo.

2) Ipagpalagay na para sa n=k

11 2k -1 ay nahahati sa 6 na walang natitira.

11 2(k+1) -1=121´11 2k -1=120´11 2k +(11 2k -1).

Ang parehong termino ay nahahati ng 6 na walang nalalabi: ang una ay naglalaman ng maramihang 6 na numero 120, at ang pangalawa ay nahahati ng 6 na walang nalalabi sa pamamagitan ng pagpapalagay. Kaya't ang kabuuan ay nahahati sa 6 na walang natitira. Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, napatunayan ang assertion.

Patunayan na ang 3 3n+3 -26n-27 para sa isang arbitrary positive integer n ay nahahati ng 26 2 (676) na walang nalalabi.

Solusyon: Patunayan muna natin na ang 3 3n+3 -1 ay nahahati sa 26 na walang nalalabi.

1. Para sa n=0

3 3 -1=26 ay nahahati sa 26

2. Ipagpalagay na para sa n=k

3 3k+3 -1 ay nahahati sa 26

3. Patunayan natin na ang pahayag

totoo para sa n=k+1.

3 3k+6 -1=27´3 3k+3 -1=26´3 3k+3 +(3 3k+3 -1) – nahahati ng 26

Ngayon patunayan natin ang assertion na nabuo sa kondisyon ng problema.

1) Malinaw na para sa n=1 ang pahayag ay totoo

3 3+3 -26-27=676

2) Ipagpalagay na para sa n=k

ang expression na 3 3k+3 -26k-27 ay nahahati sa 26 2 na walang natitira.

3) Patunayan natin na ang pahayag ay totoo para sa n=k+1

3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27).

Ang parehong termino ay nahahati sa 26 2 ; ang una ay nahahati ng 26 2 dahil napatunayan natin na ang expression sa mga bracket ay nahahati ng 26, at ang pangalawa ay nahahati ng inductive hypothesis. Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, napatunayan ang assertion.

Patunayan na kung n>2 at x>0, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay

(1+x) n >1+n´x.

Solusyon: 1) Para sa n=2, ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, dahil

(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x.

Kaya ang A(2) ay totoo.

2) Patunayan natin na A(k)ÞA(k+1) kung k> 2. Ipagpalagay na ang A(k) ay totoo, ibig sabihin, na ang hindi pagkakapantay-pantay

(1+x) k >1+k´x. (3)

Patunayan natin na ang A(k+1) ay totoo rin, ibig sabihin, na ang hindi pagkakapantay-pantay

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

Sa katunayan, ang pagpaparami ng magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay (3) sa isang positibong numero 1+x, nakukuha natin

(1+x) k+1 >(1+k´x)(1+x).

Isaalang-alang ang kanang bahagi ng huling hindi pantay

stva; meron kami

(1+k´x)(1+x)=1+(k+1)´x+k´x 2 >1+(k+1)´x.

Bilang resulta, nakukuha namin iyon

(1+x) k+1 >1+(k+1)´x.

Kaya A(k)ÞA(k+1). Batay sa prinsipyo ng mathematical induction, maaaring ipagtatalunan na ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bernoulli ay wasto para sa anumang

Patunayan na ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo

(1+a+a 2) m > 1+m´a+(m(m+1)/2)´a 2 para sa a> 0.

Solusyon: 1) Para sa m=1

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2)´a 2 parehong bahagi ay pantay.

2) Ipagpalagay na para sa m=k

(1+a+a 2) k >1+k´a+(k(k+1)/2)´a 2

3) Patunayan natin na para sa m=k+1 ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo

(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k´a+

+(k(k+1)/2)´a 2)=1+(k+1)´a+((k(k+1)/2)+k+1)´a 2 +

+((k(k+1)/2)+k)´a 3 +(k(k+1)/2)´a 4 > 1+(k+1)´a+

+((k+1)(k+2)/2)´a 2 .

Napatunayan namin ang bisa ng hindi pagkakapantay-pantay para sa m=k+1, samakatuwid, sa bisa ng paraan ng mathematical induction, ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo para sa anumang natural na m.

Patunayan na para sa n>6 ang hindi pagkakapantay-pantay

3 n >n´2 n+1 .

Solusyon: Isulat muli natin ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyo

1. Para sa n=7 mayroon kami

3 7 /2 7 =2187/128>14=2´7

totoo ang hindi pagkakapantay-pantay.

2. Ipagpalagay na para sa n=k

3) Patunayan natin ang kawastuhan ng hindi pagkakapantay-pantay para sa n=k+1.

3k+1 /2k+1 =(3k /2k)´(3/2)>2k´(3/2)=3k>2(k+1).

Mula k>7, ang huling hindi pagkakapantay-pantay ay halata.

Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, ang hindi pagkakapantay-pantay ay wasto para sa anumang natural n.

Patunayan na para sa n>2 ang hindi pagkakapantay-pantay

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n).

Solusyon: 1) Para sa n=3 ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo

1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180<246/180=1,7-(1/3).

1. Ipagpalagay na para sa n=k

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1.7-(1/k).

3) Papatunayan namin ang bisa ng hindi

mga pagkakapantay-pantay para sa n=k+1

(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2).

Patunayan natin na 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)Û

w(1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/kÛ(k+2)/(k+1) 2 <1/kÛ

Ûk(k+2)<(k+1) 2Û k 2 +2k

Ang huli ay halata, at samakatuwid

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1).

Sa bisa ng paraan ng mathematical induction, ang hindi pagkakapantay-pantay ay napatunayan.

Konklusyon

Sa partikular, napag-aralan ko ang pamamaraan ng induction ng matematika, napabuti ko ang aking kaalaman sa larangang ito ng matematika, at natutunan din kung paano lutasin ang mga problema na dati ay lampas sa aking kapangyarihan.

Karaniwan, ang mga ito ay lohikal at nakakaaliw na mga gawain, i.e. lamang ang mga nagdaragdag ng interes sa matematika mismo bilang isang agham. Ang solusyon sa naturang mga problema ay nagiging isang nakakaaliw na aktibidad at maaaring makaakit ng higit pa at mas mausisa na mga tao sa mathematical labyrinths. Sa aking palagay, ito ang batayan ng anumang agham.

Sa patuloy na pag-aaral ng pamamaraan ng mathematical induction, susubukan kong matutunan kung paano ilapat ito hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa paglutas ng mga problema sa pisika, kimika at buhay mismo.

MATHS:

LECTURES, TAKS, SOLUTIONS

Teksbuk / V. G. Boltyansky, Yu. V. Sidorov, M. I. Shabunin. Potpourri LLC 1996.

ALGEBRA AT ANG MGA PRINSIPYO NG PAGSUSURI

Teksbuk / I.T. Demidov, A.N. Kolmogorov, S.I. Shvartsburg, O.S. Ivashev-Musatov, B.E. Veits. "Enlightenment" 1975.

Ang paraan ng patunay, na tatalakayin sa seksyong ito, ay batay sa isa sa mga axiom ng natural na serye.

Axiom ng induction. Hayaang magbigay ng pangungusap na depende sa baryabol P, sa halip na maaari mong palitan ang anumang natural na mga numero. Ipahiwatig natin ito A(p). Hayaan din ang pangungusap PERO ay totoo para sa numero 1 at mula sa katotohanan na PERO totoo para sa numero sa, kasunod niyan PERO totoo para sa numero k+ 1. Pagkatapos ay mag-alok PERO totoo para sa lahat ng natural na halaga P.

Symbolic notation ng axiom:

Dito tugatog- mga variable sa hanay ng mga natural na numero. Mula sa axiom ng induction, ang sumusunod na panuntunan ng inference ay nakuha:

Kaya, upang patunayan ang katotohanan ng panukala PERO, maaari muna nating patunayan ang dalawang pahayag: ang katotohanan ng pahayag PERO( 1), pati na rin ang corollary A(k) => A(k+ 1).

Isinasaalang-alang ang nasa itaas, inilalarawan namin ang entity paraan

mathematical induction.

Hayaang kailanganin upang patunayan na ang pangungusap A(p) totoo para sa lahat ng natural P. Ang patunay ay nahahati sa dalawang yugto.

• 1st stage. base ng induction. Kinukuha namin bilang isang halaga P numero 1 at suriin iyon PERO( 1) ay isang tunay na pahayag.
• ika-2 yugto. Inductive transition. Pinatunayan namin iyon para sa anumang natural na numero sa totoo ang implikasyon: kung A(k), pagkatapos A(k+ 1).

Ang inductive passage ay nagsisimula sa mga salitang: “Kumuha ng arbitraryong natural na numero sa, ganyan A(k)", o "Hayaan para sa isang natural na numero sa tama A(k)". Sa halip na ang salitang "hayaan" ay madalas nilang sabihin na "ipagpalagay na ...".

Pagkatapos ng mga salitang ito, ang sulat sa nagsasaad ng ilang nakapirming bagay kung saan pinanghahawakan ang kaugnayan A(k). Galing sa A(k) hinuhusgahan namin ang mga kahihinatnan, iyon ay, bumuo kami ng isang hanay ng mga pangungusap A(k) 9 R, Pi, ..., Rn = A(k+ 1), kung saan ang bawat pangungusap R, ay isang tunay na pahayag o bunga ng mga naunang pangungusap. Ang huling pangungusap R" dapat tumugma sa A(k+ isa). Mula dito ay nagtatapos tayo: mula sa A(k) dapat A(k+).

Ang pagpapatupad ng isang inductive transition ay maaaring nahahati sa dalawang hakbang:

• 1) Inductive assumption. Dito natin ipagpalagay na PERO sa variable n.
• 2) Batay sa palagay, pinatutunayan namin iyon PERO tama para sa numero?+1.

Halimbawa 5.5.1. Patunayan natin na ang bilang p+p ay kahit para sa lahat ng natural P.

Dito A(p) = "n 2 + n- kahit na numero". Ito ay kinakailangan upang patunayan iyon PERO - identically true panaguri. Inilapat namin ang paraan ng induction ng matematika.

base ng induction. Kunin natin ang l=1. Palitan sa expression P+//, nakukuha namin n 2 +n= Ang I 2 + 1 = 2 ay isang even na numero, ibig sabihin, ang /1(1) ay isang totoong pahayag.

Bumalangkas tayo inductive hypothesis A(k)= "Numero hanggang 2 + hanggang - kahit na." Maaari mong sabihin ito: "Kumuha ng arbitrary na natural na numero sa ganyan hanggang 2 + hanggang ay isang even number.

Deduce namin mula dito ang assertion A(kA-)= "Numero (k+ 1) 2 + (? + 1) - kahit.

Sa pamamagitan ng mga katangian ng mga operasyon, nagsasagawa kami ng mga pagbabagong-anyo:

Ang unang termino ng nagresultang kabuuan ay kahit sa pamamagitan ng pagpapalagay, ang pangalawa ay sa pamamagitan ng kahulugan (dahil ito ay may anyo 2 P). Kaya ang kabuuan ay isang even number. Pangungusap A(k+ 1) napatunayan.

Sa pamamagitan ng paraan ng matematikal na induction, nagtatapos kami: ang pangungusap A(p) totoo para sa lahat ng natural P.

Siyempre, hindi na kailangang ipasok ang notasyon sa bawat oras A(p). Gayunpaman, inirerekumenda pa rin na bumalangkas ng inductive assumption at kung ano ang kinakailangan na mahihinuha mula dito sa isang hiwalay na linya.

Tandaan na ang assertion mula sa Halimbawa 5.5.1 ay maaaring patunayan nang hindi gumagamit ng paraan ng mathematical induction. Upang gawin ito, sapat na upang isaalang-alang ang dalawang kaso: kung kailan P kahit at kailan P kakaiba.

Maraming mga problema sa divisibility ay nalutas sa pamamagitan ng mathematical induction. Tingnan natin ang isang mas kumplikadong halimbawa.

Halimbawa 5.5.2. Patunayan natin na ang bilang na 15 2u_| Ang +1 ay nahahati sa 8 para sa lahat ng natural na numero P.

Bacha induction. Kunin natin /1=1. Mayroon kaming: numero 15 2|_| Ang +1 = 15+1 = 16 ay nahahati sa 8.

, na para sa ilan

natural na numero sa ang numerong 15 2 * '+1 ay nahahati sa 8.

Patunayan natin kung gayon ang numero a\u003d 15 2 (Ang ZHN +1 ay nahahati sa 8.

I-convert natin ang numero a:

Sa pagpapalagay, ang numerong 15 2A1 +1 ay nahahati sa 8, na nangangahulugan na ang buong unang termino ay nahahati ng 8. Ang pangalawang termino 224=8-28 ay nahahati din ng 8. Kaya, ang bilang a dahil ang pagkakaiba ng dalawang numero na multiple ng 8 ay nahahati sa 8. Ang pasaklaw na hakbang ay nabibigyang katwiran.

Batay sa paraan ng mathematical induction, napagpasyahan namin na para sa lahat ng natural P ang numerong 15 2 "-1 -*-1 ay nahahati sa 8.

Gumawa tayo ng ilang mga puna sa nalutas na problema.

Ang napatunayang pahayag ay maaaring mabuo nang medyo naiiba: "Ang bilang 15" "+1 ay mahahati ng 8 para sa anumang kakaibang natural / at".

Pangalawa, mula sa napatunayang pangkalahatang pahayag, ang isa ay maaaring gumuhit ng isang partikular na konklusyon, ang patunay nito ay maaaring ibigay bilang isang hiwalay na problema: ang numero 15 2015 +1 ay nahahati sa 8. Samakatuwid, kung minsan ay kapaki-pakinabang na gawing pangkalahatan ang problema sa pamamagitan ng pagtukoy isang partikular na halaga sa pamamagitan ng isang liham, at pagkatapos ay ilapat ang pamamaraang mathematical induction.

Sa pinaka-pangkalahatang kahulugan, ang terminong "induction" ay nangangahulugan na ang mga pangkalahatang konklusyon ay ginawa batay sa mga partikular na halimbawa. Halimbawa, nang isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng mga kabuuan ng mga numerong 2+4=6, 2+8=10, 4+6=10, 8+12=20, 16+22=38, napagpasyahan namin na ang kabuuan ng alinmang dalawa even numbers ay even number.

Sa pangkalahatang kaso, ang ganitong induction ay maaaring humantong sa hindi tamang mga konklusyon. Magbigay tayo ng isang halimbawa ng gayong maling pangangatwiran.

Halimbawa 5.5.3. Isaalang-alang ang numero a= /r+n+41 para sa natural /?.

Hanapin natin ang mga halaga a para sa ilang mga halaga P.

Hayaan n= I. Pagkatapos a = Ang 43 ay isang pangunahing numero.

Hayaan /7=2. Pagkatapos a= 4+2+41 = 47 ang prime.

Hayaan ang l=3. Pagkatapos a= 9+3+41 = 53 ang prime.

Hayaan /7=4. Pagkatapos a= 16+4+41 = 61 ang prime.

Kunin bilang mga halaga P mga numerong sumusunod sa quad, gaya ng 5, 6, 7, at tiyaking numero a magiging simple.

Nagtatapos kami: "Para sa lahat ng natural /? numero a magiging simple."

Ang resulta ay isang maling pahayag. Narito ang isang counterexample: /7=41. Siguraduhin na kasama nito P numero a magiging composite.

Ang terminong "mathematical induction" ay may mas makitid na kahulugan, dahil ang paggamit ng pamamaraang ito ay nagbibigay-daan sa iyo upang palaging makuha ang tamang konklusyon.

Halimbawa 5.5.4. Batay sa inductive na pangangatwiran, nakakakuha tayo ng formula para sa pangkalahatang termino ng isang pag-unlad ng arithmetic. Alalahanin na ang propesyon ng arithmetic ay isang numerical sequence, ang bawat miyembro nito ay naiiba sa nauna sa pamamagitan ng parehong numero, na tinatawag na progression difference. Upang natatanging tukuyin ang isang propesyon sa aritmetika, kailangan mong tukuyin ang unang miyembro nito a at pagkakaiba d.

Kaya ayon sa kahulugan isang p+ = isang n + d, sa n> 1.

Sa kurso ng paaralan ng matematika, bilang isang patakaran, ang pormula ng pangkalahatang termino ng propesyon ng aritmetika ay itinatag batay sa mga partikular na halimbawa, iyon ay, tiyak sa pamamagitan ng induction.

Kung /7=1, KAYA MULA SA 7| = AKO|, TAPOS AKO| = tf|+df(l -1).

Kung /7=2, i 2 = a + d, yan ay a= Ako|+*/(2-1).

Kung /7=3, i 3 = i 2 + = (a+d)+d = a+2d, ibig sabihin, i 3 = i|+(3-1).

Kung /7=4, i 4 = i 3 +*/ = ( a+2d)+d\u003d R1 + 3, atbp.

Ang ibinigay na mga partikular na halimbawa ay nagpapahintulot sa amin na maglagay ng isang hypothesis: ang pangkalahatang terminong pormula ay may anyo a" = a+(n-)d para sa lahat /7>1.

Patunayan natin ang formula na ito sa pamamagitan ng paraan ng mathematical induction.

base induction napatunayan sa mga nakaraang talakayan.

Hayaan sa - tulad ng isang numero kung saan ako * - a+(k-)d (inductive assumption).

Patunayan natin na ako*+! = a+((k+)-)d, ibig sabihin, i*+1 = palakol+kd.

Sa pamamagitan ng kahulugan i*+1 = ab + d. isang to= ako | +(k-1 )d, ibig sabihin, ac+\u003d i i + (A: -1) ^ / + c / \u003d i | +(A-1+1 )d= ako i +kd, na kinakailangan upang patunayan (upang bigyang-katwiran ang inductive transition).

Ngayon ang formula i" = a+(n-)d napatunayan para sa anumang natural na numero /;.

Hayaan ang ilang sequence i b i 2 , i, „ ... (hindi

kinakailangang isang arithmetic o geometric progression). Kadalasan ay may mga problema kung saan kinakailangang isama ang una P mga miyembro ng sequence na ito, ibig sabihin, tukuyin ang sum R|+i 2 +...+i at isang formula na nagbibigay-daan sa iyong mahanap ang mga value ng sum na ito nang hindi kinakalkula ang mga miyembro ng sequence.

Halimbawa 5.5.5. Patunayan natin na ang kabuuan ng una P natural na mga numero ay

/?(/7 + 1)

Tukuyin ang kabuuan na 1+2+...+/7 ni Si Sn. Hanapin natin ang mga halaga S n para sa ilang /7.

Tandaan na upang mahanap ang kabuuan S 4 , maaari mong gamitin ang halagang 5 3 na kinakalkula kanina, dahil 5 4 = 5 3 +4.

n(n +1)

Kung papalitan natin ang mga itinuturing na halaga\u200b\u200b/? sa termino --- isang bagay

nakukuha natin, ayon sa pagkakabanggit, ang parehong mga kabuuan 1, 3, 6, 10. Ang mga obserbasyon na ito

. _ n(n + 1)

iminumungkahi na ang formula S„=--- maaaring gamitin kapag

anumang //. Patunayan natin ang haka-haka na ito sa pamamagitan ng pamamaraan ng mathematical induction.

base induction napatunayan. Gawin natin inductive transition.

Kumbaga na ang formula ay totoo para sa ilang natural na numero

, k(k + 1)

k, kung gayon ang network ay ang kabuuan ng una sa ang mga natural na numero ay ----.

Patunayan natin na ang kabuuan ng unang (?+1) natural na mga numero ay katumbas ng

• (* + !)(* + 2)

Ipahayag natin?*+1 hanggang S k . Upang gawin ito, sa kabuuan ng S*+i ay pinapangkat namin ang una sa mga termino, at isulat ang huling termino nang hiwalay:

Sa pamamagitan ng inductive hypothesis S k = Kaya para mahanap

ang kabuuan ng unang (? + 1) natural na mga numero, ay sapat na sa nakalkula na

. „ k(k + 1) _ .. ..

ang kabuuan ng una sa mga numerong katumbas ng ---, magdagdag ng isang termino (k + 1).

Ang inductive transition ay makatwiran. Kaya, ang hypothesis na iniharap sa simula ay napatunayan.

Napatunayan namin ang formula S n = n ^ n+ na paraan

mathematical induction. Siyempre, may iba pang ebidensya. Halimbawa, maaari mong isulat ang kabuuan S, sa pataas na pagkakasunud-sunod ng mga termino, at pagkatapos ay sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga termino:

Ang kabuuan ng mga termino sa isang hanay ay pare-pareho (sa isang kabuuan, ang bawat susunod na termino ay bumababa ng 1, at sa iba pang mga pagtaas ng 1) at katumbas ng (/r + 1). Samakatuwid, ang pagbubuod ng mga nagresultang kabuuan, mayroon tayo P mga terminong katumbas ng (u+1). Kaya doble ang halaga S" ay katumbas ng n(n+ 1).

Ang formula na napatunayan lamang ay maaaring makuha bilang isang espesyal na kaso ng formula para sa kabuuan ng una P mga miyembro ng isang pag-unlad ng aritmetika.

Bumalik tayo sa paraan ng mathematical induction. Tandaan na ang unang yugto ng pamamaraan ng mathematical induction (ang base ng induction) ay palaging kinakailangan. Ang kawalan ng hakbang na ito ay maaaring humantong sa isang maling konklusyon.

Halimbawa 5.5.6. "Patunayan" natin ang pangungusap: "Ang numero 7" + 1 ay nahahati sa 3 para sa anumang natural na numero ".

"Ipagpalagay na para sa ilang natural na halaga sa ang numerong 7*+1 ay nahahati ng 3. Patunayan natin na ang bilang na 7 x +1 ay nahahati ng 3. Isagawa ang mga pagbabagong-anyo:

Ang numero 6 ay halatang mahahati ng 3. Ang numero 1 hanggang + ay nahahati sa 3 ng inductive hypothesis, kaya ang bilang na 7-(7* + 1) ay nahahati din ng 3. Samakatuwid, ang pagkakaiba ng mga numerong nahahati ng 3 ay mahahati din ng 3.

Napatunayan ang panukala."

Ang patunay ng orihinal na panukala ay hindi tama, sa kabila ng katotohanan na ang pasaklaw na hakbang ay tama. Sa katunayan, sa n= Mayroon akong numero 8, kasama n=2 - ang numerong 50, ..., at wala sa mga numerong ito ang mahahati ng 3.

Gumawa tayo ng mahalagang komento tungkol sa notasyon ng isang natural na numero kapag nagsasagawa ng inductive transition. Kapag bumubuo ng isang panukala A(p) sulat P nagpahiwatig kami ng isang variable, sa halip na ang anumang mga natural na numero ay maaaring palitan. Kapag bumubuo ng inductive hypothesis, tinukoy namin ang halaga ng variable sa pamamagitan ng titik sa. Gayunpaman, napakadalas sa halip na isang bagong liham sa gamitin ang parehong titik bilang variable. Hindi ito nakakaapekto sa istruktura ng pangangatwiran kapag nagsasagawa ng inductive transition.

Isaalang-alang natin ang ilang higit pang mga halimbawa ng mga problema kung saan maaaring gamitin ang pamamaraan ng induction ng matematika.

Halimbawa 5.5.7. Hanapin ang halaga ng kabuuan

Variable sa gawain P hindi lumilitaw. Gayunpaman, isaalang-alang ang pagkakasunud-sunod ng mga termino:

Magpakilala S, \u003d a + a 2 + ... + a „. Hanapin natin S" para sa ilang P. Kung /1= 1, kung gayon S, = a, =-.

Kung ang n= 2. pagkatapos S, = a, + a? = - + - = - = -.

Kung /?=3, kung gayon S-, = a+a 7+ i, = - + - + - = - + - = - = -.

3 1 - 3 2 6 12 3 12 12 4

Maaari mong kalkulahin ang mga halaga sa iyong sarili S" sa /7 = 4; 5. Bumangon

natural na hula: S n= -- para sa anumang natural /7. Patunayan natin

Ito ay sa pamamagitan ng mathematical induction.

base induction nasuri sa itaas.

Gawin natin inductive transition, nagsasaad ng arbitraryo

variable na halaga P ang parehong sulat, iyon ay, pinatunayan namin na mula sa pagkakapantay-pantay

0 /7 _ /7 +1

S n=-sumusunod sa pagkakapantay-pantay S, =-.

/7+1 /7 + 2

Kumbaga na ang pagkakapantay-pantay ay totoo S= - P -.

Mag-allocate tayo sa kabuuan S"+ una P mga tuntunin:

Ang paglalapat ng inductive assumption, nakukuha namin:

Ang pagbabawas ng fraction ng (/7+1), magkakaroon tayo ng pagkakapantay-pantay S n +1 - , L

Ang inductive transition ay makatwiran.

Ito ay nagpapatunay na ang kabuuan ng una P mga tuntunin

• 1 1 1 /7 ^
• - +-+...+- ay katumbas ng -. Ngayon bumalik tayo sa orihinal
• 1-2 2-3 /?(// +1) /7 + 1

gawain. Upang malutas ito, sapat na itong kunin bilang halaga P numero 99.

Pagkatapos ang kabuuan -!- + -!- + -!- + ...+ --- ay magiging katumbas ng bilang na 0.99.

1-2 2-3 3-4 99100

Subukang kalkulahin ang halagang ito sa ibang paraan.

Halimbawa 5.5.8. Patunayan natin na ang derivative ng kabuuan ng anumang finite number ng differentiable functions ay katumbas ng sum ng derivatives ng mga function na ito.

Hayaan ang variable /? nagsasaad ng bilang ng mga ibinigay na tampok. Sa kaso kapag isang function lamang ang ibinigay, ang function na ito ang nauunawaan bilang kabuuan. Samakatuwid, kung /7=1, kung gayon ang pahayag ay malinaw na totoo: /" = /".

Kumbaga na ang pahayag ay totoo para sa isang set ng P function (narito muli sa halip na ang titik sa sulat na kinuha P), ibig sabihin, ang derivative ng sum P ang mga function ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives.

Patunayan natin na ang derivative ng sum ng (n + 1) function ay katumbas ng sum ng derivatives. Kumuha ng arbitrary set na binubuo ng n+ naiba-iba na function: /1,/2, . Katawanin natin ang kabuuan ng mga function na ito

bilang g+f„+ 1, saan g=f +/g + ... +/t- sum P mga function. Sa pamamagitan ng inductive hypothesis, ang derivative ng function g ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives: g" = ft + ft + ... +ft. Samakatuwid, ang sumusunod na kadena ng pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:

Nakumpleto ang inductive transition.

Kaya, ang orihinal na panukala ay napatunayan para sa anumang may hangganang bilang ng mga function.

Sa ilang mga kaso, kinakailangan upang patunayan ang katotohanan ng panukala A(p) para sa lahat ng natural na i, simula sa ilang halaga Sa. Ang patunay sa pamamagitan ng mathematical induction sa mga ganitong kaso ay isinasagawa ayon sa sumusunod na pamamaraan.

base ng induction. Pinatunayan namin na ang panukala PERO totoo para sa halaga P, pantay Sa.

Inductive transition. 1) Ipinapalagay namin na ang panukala PERO totoo para sa ilang halaga sa variable /?, na mas malaki sa o katumbas ng Sa.

2) Pinatunayan namin na ang panukala PERO totoo para sa /? katumbas ng

Tandaan muli na sa halip na ang sulat sa madalas iwanan ang variable na pagtatalaga P. Sa kasong ito, ang inductive transition ay nagsisimula sa mga salitang: "Ipagpalagay na para sa ilang halaga n>s tama A(p). Patunayan natin yan A(n+ isa)".

Halimbawa 5.5.9. Patunayan natin yan for all natural n> 5 ang hindi pagkakapantay-pantay 2” > at 2 ay totoo.

base ng induction. Hayaan n= 5. Pagkatapos 2 5 =32, 5 2 =25. Ang hindi pagkakapantay-pantay 32>25 ay totoo.

Inductive transition. Kumbaga, na ang hindi pagkakapantay-pantay 2 P>n 2 para sa ilang natural na numero n> 5. Patunayan natin, na pagkatapos ay 2" +| > (n+1) 2 .

Sa pamamagitan ng mga katangian ng mga kapangyarihan 2” +| = 2-2". Dahil 2" > n 2 (sa pamamagitan ng inductive hypothesis), pagkatapos ay 2-2" > 2n 2 (I).

I-justify natin yan 2 p 2 mas malaki kaysa sa (i+1) 2 . Magagawa ito sa maraming paraan. Ito ay sapat na upang malutas ang quadratic inequality 2x 2 >(x+) 2 sa hanay ng mga tunay na numero at tingnan na ang lahat ng natural na numero na mas malaki sa o katumbas ng 5 ay ang mga solusyon nito.

Magpapatuloy tayo sa mga sumusunod. Hanapin natin ang pagkakaiba ng mga numero 2 p 2 at (i+1) 2:

Simula at > 5, pagkatapos i + 1 > 6, na nangangahulugang (i + 1) 2 > 36. Samakatuwid, ang pagkakaiba ay mas malaki kaysa sa 0. Kaya, 2i 2 > (i + 1) 2 (2).

Sa pamamagitan ng mga katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay, sumusunod mula sa (I) at (2) na 2*2" > (n + 1) 2 , na kinakailangan upang patunayan upang bigyang-katwiran ang inductive transition.

Batay sa paraan ng mathematical induction, napagpasyahan namin na ang hindi pagkakapantay-pantay 2" > i 2 ay totoo para sa anumang natural na numero i.

Isaalang-alang ang isa pang anyo ng paraan ng mathematical induction. Ang pagkakaiba ay nasa inductive transition. Upang ipatupad ito, dalawang hakbang ang kinakailangan:

• 1) ipagpalagay na ang alok A(p) totoo para sa lahat ng mga halaga ng variable na mas mababa sa ilang numero R;
• 2) mula sa ginawang pagpapalagay, ipahiwatig na ang panukala A(p) totoo para sa numero R.

Kaya, ang inductive step ay nangangailangan ng patunay ng corollary: [(Ui?) A(n)] => A(p). Tandaan na ang corollary ay maaaring muling isulat bilang: [(Yn^p) A(n)] => A(p+ 1).

Sa orihinal na pagbabalangkas ng paraan ng mathematical induction sa pagpapatunay ng proposisyon A(p) umasa lang kami sa "nakaraang" panukala A(p- isa). Ang pagbabalangkas ng pamamaraang ibinigay dito ay nagbibigay-daan sa pagkuha A(p), ipagpalagay na ang lahat ng mga panukala A(n), kung saan ako ay mas mababa R, ay totoo.

Halimbawa 5.5.10. Patunayan natin ang theorem: "Ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng anumang i-gon ay 180°(i-2)".

Para sa isang convex polygon, ang theorem ay madaling patunayan kung ito ay hinati ng mga diagonal na iginuhit mula sa isang vertex sa mga tatsulok. Gayunpaman, para sa isang hindi matambok na polygon, ang gayong pamamaraan ay maaaring hindi posible.

Patunayan natin ang theorem para sa isang arbitrary polygon sa pamamagitan ng mathematical induction. Ipinapalagay namin na ang sumusunod na paninindigan ay kilala, na, sa mahigpit na pagsasalita, ay nangangailangan ng isang hiwalay na patunay: "Sa alinmang //-gon, mayroong isang dayagonal na ganap na namamalagi sa panloob na bahagi nito."

Sa halip na variable //, maaari mong palitan ang anumang natural na numero na mas malaki sa o katumbas ng 3. Para sa n=b Ang teorama ay totoo dahil ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok ay 180°.

Kumuha ng ilang /7-gon (p> 4) at ipagpalagay na ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang //-gon, kung saan // p, ay katumbas ng 180°(//-2). Patunayan natin na ang kabuuan ng mga anggulo ng //-gon ay katumbas ng 180°(//-2).

Gumuhit tayo ng dayagonal //-gon na nakahiga sa loob nito. Hahatiin nito ang //-gon sa dalawang polygons. Hayaan ang isa sa kanila sa panig, ang iba sa 2 panig. Pagkatapos k + k 2 -2 \u003d p, dahil ang mga nagresultang polygon ay may karaniwang gilid na iginuhit na dayagonal, na hindi bahagi ng orihinal na //-gon.

Parehong numero sa at sa 2 mas mababa //. Ilapat natin ang inductive assumption sa mga resultang polygons: ang kabuuan ng mga anggulo ng A]-gon ay 180°-(?i-2), at ang kabuuan ng mga anggulo? Ang 2-gon ay katumbas ng 180 ° - (Ar 2 -2). Kung gayon ang kabuuan ng mga anggulo ng //-gon ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga numerong ito:

180 ° * (Ar | -2) -n 180 ° (Ar2-2) \u003d 180 o (Ar, -Ar 2 -2-2) \u003d 180 ° - (//-2).

Ang inductive transition ay makatwiran. Batay sa paraan ng mathematical induction, ang theorem ay pinatunayan para sa anumang //-gon (//>3).

Ang teksto ng trabaho ay inilalagay nang walang mga imahe at mga formula.
Ang buong bersyon ng trabaho ay magagamit sa tab na "Mga File ng Trabaho" sa format na PDF

Panimula

Ang paksang ito ay may kaugnayan, dahil araw-araw ay nalulutas ng mga tao ang iba't ibang mga problema kung saan gumagamit sila ng iba't ibang mga pamamaraan ng paglutas, ngunit may mga gawain kung saan ang pamamaraan ng induction ng matematika ay hindi maaaring ibigay, at sa mga ganitong kaso ang kaalaman sa lugar na ito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang.

Pinili ko ang paksang ito para sa pananaliksik, dahil sa kurikulum ng paaralan ang pamamaraan ng induction ng matematika ay binibigyan ng kaunting oras, natututo ang mag-aaral ng mababaw na impormasyon na makakatulong sa kanya na makakuha lamang ng isang pangkalahatang ideya ng pamamaraang ito, ngunit ang pag-unlad ng sarili ay kailangang pag-aralan nang malalim ang teoryang ito. Ito ay talagang magiging kapaki-pakinabang upang matuto nang higit pa tungkol sa paksang ito, dahil pinalawak nito ang mga abot-tanaw ng isang tao at tumutulong sa paglutas ng mga kumplikadong problema.

Layunin:

Kilalanin ang pamamaraan ng induction ng matematika, sistematikong isagawa ang kaalaman sa paksang ito at ilapat ito sa paglutas ng mga problema sa matematika at pagpapatunay ng mga teorema, patunayan at malinaw na ipakita ang praktikal na kahalagahan ng pamamaraan ng induction ng matematika bilang isang kinakailangang kadahilanan para sa paglutas ng mga problema.

Mga gawain sa trabaho:

Suriin ang panitikan at ibuod ang kaalaman sa paksa.

Unawain ang mga prinsipyo ng mathematical induction.

Tuklasin ang aplikasyon ng paraan ng mathematical induction sa paglutas ng problema.

Bumuo ng mga konklusyon at konklusyon sa gawaing ginawa.

Pangunahing katawan ng pananaliksik

Kasaysayan ng pinagmulan:

Sa pagtatapos lamang ng ika-19 na siglo nabuo ang pamantayan ng mga kinakailangan para sa lohikal na kahigpitan, na hanggang ngayon ay nananatiling nangingibabaw sa praktikal na gawain ng mga mathematician sa pagbuo ng mga indibidwal na teoryang matematika.

Ang induction ay isang pamamaraang nagbibigay-malay kung saan ang isang pahayag na nagsa-generalize sa mga ito ay hinuhusgahan mula sa paghahambing ng mga magagamit na katotohanan.

Sa matematika, ang papel ng induction ay higit sa lahat na pinagbabatayan nito ang napiling axiomatics. Pagkatapos ng mahabang pagsasanay ay nagpakita na ang isang tuwid na landas ay palaging mas maikli kaysa sa isang hubog o sirang isa, natural na magbalangkas ng isang axiom: para sa anumang tatlong puntos na A, B at C, ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasisiyahan.

Ang kamalayan ng paraan ng matematikal na induction bilang isang hiwalay na mahalagang paraan ay bumalik sa Blaise Pascal at Gersonides, bagaman ang ilang mga kaso ng aplikasyon ay natagpuan kahit noong sinaunang panahon nina Proclus at Euclid. Ang modernong pangalan para sa pamamaraan ay ipinakilala ni de Morgan noong 1838.

Ang pamamaraan ng induction ng matematika ay maihahambing sa pag-unlad: nagsisimula tayo mula sa pinakamababa, bilang isang resulta ng lohikal na pag-iisip ay nakarating tayo sa pinakamataas. Ang tao ay palaging nagsusumikap para sa pag-unlad, para sa kakayahang lohikal na paunlarin ang kanyang pag-iisip, na nangangahulugan na ang kalikasan mismo ang nagtakda sa kanya na mag-isip nang pasaklaw.

Induction at deduction

Ito ay kilala na mayroong parehong partikular at pangkalahatang mga pahayag, at ang dalawang ibinigay na termino ay batay sa paglipat mula sa isa patungo sa isa pa.

Deduction (mula sa lat. deductio - derivation) - ang paglipat sa proseso ng cognition mula sa pangkalahatan kaalaman sa pribado at walang asawa. Sa pagbabawas, ang pangkalahatang kaalaman ay nagsisilbing panimulang punto ng pangangatwiran, at ang pangkalahatang kaalaman na ito ay ipinapalagay na "handa", umiiral. Ang kakaiba ng pagbabawas ay ang katotohanan ng mga lugar nito ay ginagarantiyahan ang katotohanan ng konklusyon. Samakatuwid, ang pagbabawas ay may malaking kapangyarihan ng panghihikayat at malawakang ginagamit hindi lamang upang patunayan ang mga teorema sa matematika, kundi pati na rin kung saan kailangan ang maaasahang kaalaman.

Ang induction (mula sa Latin na inductio - guidance) ay isang paglipat sa proseso ng cognition mula sa pribado kaalaman sa pangkalahatan Sa madaling salita, ito ay isang paraan ng pananaliksik, kaalaman, na nauugnay sa generalization ng mga resulta ng mga obserbasyon at mga eksperimento.Ang isang tampok ng induction ay ang probabilistic na kalikasan nito, i.e. dahil sa katotohanan ng mga paunang lugar, ang konklusyon ng induction ay malamang na totoo lamang, at sa pangwakas na resulta maaari itong maging parehong totoo at mali.

Kumpleto at hindi kumpletong induction

Ang induktibong pangangatwiran ay isang anyo ng abstract na pag-iisip kung saan ang pag-iisip ay nabubuo mula sa kaalaman ng isang mas mababang antas ng pangkalahatan hanggang sa kaalaman ng isang mas mataas na antas ng pangkalahatan, at ang konklusyon na sumusunod mula sa mga lugar ay nakararami sa probabilistic.

Sa kurso ng pananaliksik, nalaman ko na ang induction ay nahahati sa dalawang uri: kumpleto at hindi kumpleto.

Ang isang kumpletong induction ay tinatawag na isang konklusyon kung saan ang isang pangkalahatang konklusyon tungkol sa isang klase ng mga bagay ay ginawa batay sa pag-aaral ng lahat ng mga bagay ng klase na ito.

Halimbawa, hayaang kailanganin na itatag na ang bawat natural na even number n sa loob ng 6≤ n≤ 18 ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng dalawang prime number. Upang gawin ito, kinukuha namin ang lahat ng naturang numero at isulat ang kaukulang mga pagpapalawak:

6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;14=7+7; 16=11+5; 18=13+5;

Ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapakita na ang bawat isa sa mga bilang ng interes sa atin ay talagang kinakatawan bilang kabuuan ng dalawang simpleng termino.

Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa: ang sequence yn= n 2 +n+17; Isulat natin ang unang apat na termino: y 1 =19; y2=23; y3=29; y4=37; Pagkatapos ay maaari nating ipagpalagay na ang buong sequence ay binubuo ng mga primes. Ngunit hindi ito ganoon, kunin natin ang y 16 = 16 2 +16+17=16(16+1)+17=17*17. Ito ay isang pinagsama-samang numero, na nangangahulugan na ang aming palagay ay mali, sa gayon, ang hindi kumpletong induction ay hindi humahantong sa ganap na maaasahang mga konklusyon, ngunit nagbibigay-daan sa amin na bumalangkas ng isang hypothesis, na sa kalaunan ay nangangailangan ng mathematical proof o refutation.

Paraan ng mathematical induction

Ang kumpletong induction ay may mga limitadong aplikasyon lamang sa matematika. Maraming kawili-wiling mathematical statement ang sumasaklaw sa walang katapusang bilang ng mga espesyal na kaso, at hindi namin masusuri ang lahat ng sitwasyong ito. Ngunit paano magsusubok para sa walang katapusang bilang ng mga kaso? Ang pamamaraang ito ay iminungkahi nina B. Pascal at J. Bernoulli, ito ay isang paraan ng mathematical induction, na batay sa prinsipyo ng mathematical induction.

Kung ang pangungusap na A(n), na nakasalalay sa isang natural na bilang n, ay totoo para sa n=1, at mula sa katotohanang ito ay totoo para sa n=k (kung saan ang k ay anumang natural na numero), ito ay sumusunod na ito ay true para sa susunod na numero n=k +1, kung gayon ang Assumption A(n) ay totoo para sa anumang natural na numero n.

Sa ilang mga kaso, maaaring kailanganing patunayan ang bisa ng isang tiyak na pahayag hindi para sa lahat ng natural na numero, ngunit para lamang sa n>p, kung saan ang p ay isang nakapirming natural na numero. Sa kasong ito, ang prinsipyo ng mathematical induction ay nabuo tulad ng sumusunod:

Kung ang pangungusap na A(n) ay totoo para sa n=p at kung A(k)  A(k+1) para sa anumang k>p, kung gayon ang pangungusap na A(n) ay totoo para sa anumang n>p.

Algorithm (binubuo ito ng apat na yugto):

1.base(ipinapakita namin na ang assertion na pinatutunayan ay totoo para sa ilang pinakasimpleng espesyal na kaso ( P = 1));

2.hulaan(Ipagpalagay namin na ang assertion ay napatunayan para sa una sa mga kaso); 3 .hakbang(sa ilalim ng pagpapalagay na ito ay pinatutunayan namin ang assertion para sa kaso P = sa + 1); 4.output (y ang pahayag ay totoo para sa lahat ng kaso, iyon ay, para sa lahat P) .

Tandaan na hindi lahat ng mga problema ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pamamaraan ng matematikal na induction, ngunit ang mga problema lamang ay na-parameter ng ilang variable. Ang variable na ito ay tinatawag na induction variable.

Paglalapat ng paraan ng mathematical induction

Ilapat natin ang lahat ng teoryang ito sa pagsasanay at alamin kung aling mga problema ang ginamit sa pamamaraang ito.

Mga problema para sa patunay ng hindi pagkakapantay-pantay.

Halimbawa 1 Patunayan ang hindi pagkakapantay-pantay ng Bernoulli (1+x)n≥1+n x, x>-1, n ∈ N.

1) Para sa n=1, ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, dahil 1+х≥1+х

2) Ipagpalagay na ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo para sa ilang n=k, i.e.

(1+x) k ≥1+k x.

Ang pagpaparami ng magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang positibong numero 1+x, nakukuha natin

(1+x) k+1 ≥(1+kx)(1+ x) =1+(k+1) x + kx 2

Isinasaalang-alang na kx 2 ≥0, dumating tayo sa hindi pagkakapantay-pantay

(1+x) k+1 ≥1+(k+1) x.

Kaya, ang pagpapalagay na ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bernoulli ay totoo para sa n=k ay nagpapahiwatig na ito ay totoo para sa n=k+1. Batay sa paraan ng mathematical induction, maaaring pagtalunan na ang hindi pagkakapantay-pantay ni Bernoulli ay wasto para sa anumang n ∈ N.

Halimbawa 2 Patunayan na para sa anumang natural na numero n>1, .

Patunayan natin gamit ang paraan ng mathematical induction.

Tukuyin ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng.

1), samakatuwid, para sa n=2 ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo.

2) Hayaan para sa ilang k. Patunayan natin iyan at Meron kami .

Paghahambing at, mayroon kami, i.e. .

Para sa anumang positibong integer k, ang kanang bahagi ng huling pagkakapantay-pantay ay positibo. kaya lang. Ngunit, samakatuwid, at. Napatunayan namin ang bisa ng hindi pagkakapantay-pantay para sa n=k+1, samakatuwid, sa bisa ng paraan ng mathematical induction, ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo para sa anumang natural n>1.

Mga problema para sa patunay ng mga pagkakakilanlan.

Halimbawa 1 Patunayan na para sa anumang natural n ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

Hayaang n=1, pagkatapos X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

Nakikita natin na para sa n=1 ang pahayag ay totoo.

2) Ipagpalagay na ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa n=kX k =k 2 (k+1) 2 /4.

3) Patunayan natin ang katotohanan ng pahayag na ito para sa n=k+1, ibig sabihin, X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k+1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.

Mula sa patunay sa itaas ay malinaw na ang pahayag ay totoo para sa n=k+1, samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa anumang natural na n.

Halimbawa 2 Patunayan na para sa anumang natural n ang pagkakapantay-pantay

1) Suriin kung ang pagkakakilanlang ito ay totoo para sa n = 1.; - tama.

2) Hayaang maging totoo din ang pagkakakilanlan para sa n = k, i.e.

3) Patunayan natin na ang pagkakakilanlang ito ay totoo rin para sa n = k + 1, ibig sabihin;

kasi Ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa n=k at n=k+1, pagkatapos ito ay totoo para sa anumang natural na n.

Mga gawain sa pagbubuod.

Halimbawa 1 Patunayan na 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .

Solusyon: 1) Mayroon kaming n=1=1 2 . Samakatuwid, ang pahayag ay totoo para sa n=1, i.e. A(1) ay totoo.

2) Patunayan natin na А(k) A(k+1).

Hayaang k ang anumang natural na numero at hayaang totoo ang pahayag para sa n=k, ibig sabihin, 1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

Patunayan natin na kung gayon ang assertion ay totoo din para sa susunod na natural na numero n=k+1, i.e. Ano

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

Sa katunayan, 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

Kaya, A(k) A(k+1). Batay sa prinsipyo ng mathematical induction, napagpasyahan namin na ang palagay na A(n) ay totoo para sa anumang n N.

Halimbawa 2 Patunayan ang formula, n ay isang natural na numero.

Solusyon: Kapag n=1, ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay ay nagiging isa at, samakatuwid, ang unang kondisyon ng prinsipyo ng mathematical induction ay nasiyahan.

Ipagpalagay na ang formula ay totoo para sa n=k, i.e. .

Idagdag natin sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito at baguhin ang kanang bahagi. Pagkatapos makuha namin

Kaya, mula sa katotohanan na ang formula ay totoo para sa n=k, ito ay sumusunod na ito ay totoo para sa n=k+1, kung gayon ang pahayag na ito ay totoo para sa anumang natural na n.

mga gawain sa divisibility.

Halimbawa 1 Patunayan na ang (11 n+2 +12 2n+1) ay nahahati sa 133 nang walang natitira.

Solusyon: 1) Hayaan n=1, pagkatapos

11 3 +12 3 \u003d (11 + 12) (11 2 -132 + 12 2) \u003d 23 × 133.

(23 × 133) ay nahahati sa 133 na walang natitira, kaya para sa n=1 ang pahayag ay totoo;

2) Ipagpalagay na ang (11 k+2 +12 2k+1) ay nahahati sa 133 nang walang nalalabi.

3) Patunayan natin iyan sa kasong ito

(11 k+3 +12 2k+3) ay nahahati sa 133 nang walang nalalabi. Sa katunayan, 11 k+3 +12 2n+3 =11×11 k+2 +

12 2 ×12 2k+1 =11× 11 k+2 +(11+133)× 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133× 12 2k+1 .

Ang resultang kabuuan ay nahahati ng 133 nang walang nalalabi, dahil ang unang termino nito ay nahahati sa 133 na walang nalalabi sa pamamagitan ng pagpapalagay, at sa pangalawa sa mga salik ay 133.

Kaya, A(k) → A(k+1), pagkatapos ay batay sa paraan ng mathematical induction, ang pahayag ay totoo para sa anumang natural n.

Halimbawa 2 Patunayan na ang 3 3n-1 +2 4n-3 para sa isang arbitrary positive integer n ay nahahati ng 11.

Solusyon: 1) Hayaan ang n=1, pagkatapos ay ang X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 ay nahahati sa 11 nang walang natitira. Samakatuwid, para sa n=1 ang pahayag ay totoo.

2) Ipagpalagay na para sa n=k

Ang X k \u003d 3 3k-1 +2 4k-3 ay nahahati sa 11 nang walang natitira.

3) Patunayan natin na ang pahayag ay totoo para sa n=k+1.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 *3 3k-1 +2 4 *2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =(16+11)* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16* 3 3k-1 +

11* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11* 3 3k-1 .

Ang unang termino ay nahahati ng 11 nang walang natitira, dahil ang 3 3k-1 +2 4k-3 ay nahahati sa 11 sa pamamagitan ng pagpapalagay, ang pangalawa ay nahahati ng 11, dahil ang isa sa mga kadahilanan nito ay ang numero 11. Kaya, ang kabuuan ay mahahati din ng 11 na walang nalalabi para sa anumang natural n.

Mga gawain mula sa totoong buhay.

Halimbawa 1 Patunayan na ang kabuuan ng Sn ng mga panloob na anggulo ng anumang matambok na polygon ay ( P- 2)π, saan P ay ang bilang ng mga gilid ng polygon na ito: Sn = ( P- 2)π (1).

Ang pahayag na ito ay hindi makatuwiran para sa lahat ng natural P, ngunit para lamang sa P > 3, dahil ang pinakamababang bilang ng mga anggulo sa isang tatsulok ay 3.

1) Kailan P= 3 ang aming pahayag ay nasa anyong: S 3 = π. Ngunit ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng anumang tatsulok ay talagang π. Samakatuwid, kapag P= 3 formula (1) ay totoo.

2) Hayaang maging totoo ang formula na ito para sa n =k, iyon ay, S k = (k- 2)π, saan k > 3. Patunayan natin na sa kasong ito ang formula ay mayroon ding: S k+ 1 = (k- 1) π.

Hayaan ang A 1 A 2 ... A k A k+ 1 - arbitrary convex ( k+ 1) -gon (Larawan 338).

Sa pamamagitan ng pagkonekta ng mga punto A 1 at A k , nakakakuha kami ng convex k-gon A 1 A 2 ... A k — 1A k . Malinaw, ang kabuuan ng mga anggulo ( k+ 1) -gon A 1 A 2 ... A k A k+ 1 ay katumbas ng kabuuan ng mga anggulo k-gon A 1 A 2 ... A k kasama ang kabuuan ng mga anggulo ng tatsulok A 1 A k A k+ isa. Ngunit ang kabuuan ng mga anggulo k-gon A 1 A 2 ... A k ay ipinapalagay na ( k- 2)π, at ang kabuuan ng mga anggulo ng tatsulok A 1 A k A k+ 1 ay katumbas ng pi. kaya lang

S k+ 1=S k + π = ( k- 2)π + π = ( k- 1) π.

Kaya, ang parehong mga kondisyon ng prinsipyo ng mathematical induction ay nasiyahan, at samakatuwid ang formula (1) ay totoo para sa anumang natural P > 3.

Halimbawa 2 May hagdanan, ang lahat ng mga hakbang ay pareho. Kinakailangang ipahiwatig ang pinakamababang bilang ng mga posisyon na magagarantiya sa posibilidad ng "pag-akyat" sa anumang hakbang sa numero.

Sumasang-ayon ang lahat na dapat may kondisyon. Dapat kaya nating umakyat sa unang hakbang. Susunod, dapat silang umakyat mula sa unang hakbang hanggang sa pangalawa. Pagkatapos sa pangalawa - sa pangatlo, atbp. sa ika-n hakbang. Siyempre, sa kabuuan, ang mga "n" na pahayag ay ginagarantiya nm na makakarating tayo sa ika-n na hakbang.

Tingnan natin ngayon ang 2, 3,…., n mga posisyon at ihambing ang mga ito sa isa't isa. Madaling makita na lahat sila ay may parehong istraktura: kung nakarating tayo sa k step, maaari nating akyatin ang (k + 1) na hakbang. Mula dito, ang gayong axiom para sa bisa ng mga pahayag na nakasalalay sa "n" ay nagiging natural: kung ang pangungusap A (n), kung saan ang n ay isang natural na numero, ay nasiyahan sa n=1 at mula sa katotohanan na ito ay nasiyahan. na may n=k (kung saan ang k ay anumang natural na numero), ito ay sumusunod na ito ay humahawak din para sa n=k+1, pagkatapos ay ang Assumption A(n) ay humahawak para sa anumang natural na numero n.

Aplikasyon

Mga gawain gamit ang paraan ng mathematical induction kapag pumapasok sa mga unibersidad.

Tandaan na kapag pumapasok sa mas mataas na institusyong pang-edukasyon, mayroon ding mga gawain na nalutas sa pamamaraang ito. Isaalang-alang natin ang mga ito sa mga partikular na halimbawa.

Halimbawa 1 Patunayan na anumang natural P patas na pagkakapantay-pantay

1) Kailan n=1 nakukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay na Kasalanan.

2) Paggawa ng inductive assumption na para sa n= k ang pagkakapantay-pantay ay totoo, isaalang-alang ang kabuuan sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay, para sa n =k+1;

3) Gamit ang mga formula ng pagbabawas, binabago namin ang expression:

Pagkatapos, sa bisa ng paraan ng mathematical induction, ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa anumang natural n.

Halimbawa 2 Patunayan na para sa anumang natural n ang halaga ng expression na 4n +15n-1 ay isang multiple ng 9.

1) Sa n=1: 2 2 +15-1=18 - maramihang ng 9 (dahil 18:9=2)

2) Hayaang manatili ang pagkakapantay-pantay n=k: Ang 4k +15k-1 ay isang multiple ng 9.

3) Patunayan natin na nananatili ang pagkakapantay-pantay para sa susunod na numero n=k+1

4k+1 +15(k+1)-1=4k+1 +15k+15-1=4.4k +60k-4-45k+18=4(4k +15k-1)-9(5k- 2)

4(4k +15k-1) - maramihang ng 9;

9(5k-2) - maramihang ng 9;

Dahil dito, ang buong expression na 4(4 k +15k-1)-9(5k-2) ay isang multiple ng 9, na dapat patunayan.

Halimbawa 3 Patunayan iyon para sa anumang natural na numero P natugunan ang kondisyon: 1∙2∙3+2∙3∙4+…+ n(n+1)(n+2)=.

1) Suriin kung ang formula na ito ay totoo para sa n=1: Kaliwang parte = 1∙2∙3=6.

kanang bahagi = . 6 = 6; totoo sa n=1.

2) Ipagpalagay na ang formula na ito ay totoo para sa n =k:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+k(k+1)(k+2)=. S k =.

3) Patunayan natin na ang formula na ito ay totoo para sa n =k+1:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+(k+1)(k+2)(k+3)=.

S k+1 =.

Patunay:

Kaya, ang kundisyong ito ay totoo sa dalawang kaso at napatunayan na ito ay totoo para sa n =k+1, samakatuwid ito ay totoo para sa anumang natural na numero P.

Konklusyon

Upang buod, sa proseso ng pananaliksik, nalaman ko kung ano ang induction, na kumpleto o hindi kumpleto, nakilala ang pamamaraan ng induction ng matematika batay sa prinsipyo ng induction ng matematika, isinasaalang-alang ang maraming mga problema gamit ang pamamaraang ito.

Marami rin akong natutunang bagong impormasyon, iba sa mga kasama sa kurikulum ng paaralan.Habang pinag-aaralan ko ang pamamaraan ng mathematical induction, gumamit ako ng iba't ibang literatura, Internet resources, at sumangguni din sa isang guro.

Konklusyon: Ang pagkakaroon ng pangkalahatan at systematized na kaalaman sa matematika induction, ako ay naging kumbinsido sa pangangailangan para sa kaalaman sa paksang ito sa katotohanan. Ang isang positibong kalidad ng pamamaraan ng induction ng matematika ay ang malawak na aplikasyon nito sa paglutas ng mga problema: sa larangan ng algebra, geometry at tunay na matematika. Gayundin, ang kaalamang ito ay nagdaragdag ng interes sa matematika bilang isang agham.

Sigurado ako na ang mga kasanayang nakuha sa trabaho ay makakatulong sa akin sa hinaharap.

​ Bibliograpiya

Sominsky I.S. Paraan ng mathematical induction. Mga sikat na lektura sa matematika, isyu 3-M.: Nauka, 1974.

L. I. Golovina, I. M. Yaglom. Induction sa geometry. - Fizmatgiz, 1961. - T. 21. - 100 p. — (Mga sikat na lektura sa matematika).

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. Manwal sa matematika para sa mga aplikante sa mga unibersidad (Mga napiling tanong ng elementarya na matematika) - Ed. 5th, binago, 1976 - 638s.

A. Shen. Matematika induction. - MTsNMO, 2004. - 36 p.

M.L. Galitsky, A.M. Goldman, L.I. Zvavich Koleksyon ng mga problema sa algebra: aklat-aralin para sa 8-9 na mga cell. na may malalim the study of mathematics 7th ed. - M .: Education, 2001. - 271 p.

Yu.N. - M .: Pro-sve-shche-nie, 2002.

Ang Wikipedia ay ang malayang ensiklopedya.