Ang pagtaas at pagbaba ng mga function sa pagitan, extremums. Ano ang extrema ng isang function: kritikal na punto ng maximum at minimum Pagsisiyasat ng isang function para sa pagtaas at pagbaba

2) hanapin ang unang derivative;

3) maghanap ng mga kritikal na punto;

2) Hanapin ang derivative

5) Kalkulahin ang halaga ng function

2) Hanapin ang derivative

5) Kalkulahin ang extremum ng function

2) Kalkulahin ang derivative

Tingnan ang mga materyales:

Ang isang kahulugan ng extremum ng isang function ay ibinigay, at isang halimbawa ay ibinigay kung paano hanapin ang extremum ng isang function gamit ang isang online na calculator.

Halimbawa

Mayroong isang function (x^3 -exp(x) + x)/(1+x^2).

Ilagay natin ito sa calculator function research online:

Nakukuha namin ang sumusunod na resulta:

Upang mahanap ang extrema, kailangan mong lutasin ang equation na $$\frac(d)(d x) f(\left (x \right)) = 0$$ (ang derivative ay katumbas ng zero), at ang mga ugat ng ang equation na ito ang magiging extrema ng function na ito: $ $\frac(d)(d x) f(\left (x \right)) = $$ First derivative $$- \frac(2 x)(\left(x^ (2) + 1\kanan)^(2 )) \kaliwa(x + x^(3) - e^(x)\kanan) + \frac(3 x^(2) - e^(x) + 1 )(x^(2) + 1) = 0$$ Lutasin ang equation na ito
Ang mga ugat ng equation na ito $$x_(1) = 0$$ $$x_(2) = 3.28103090528$$ $$x_(3) = -0.373548376565$$ Zn. extremes sa mga punto:
(0, -1)
(3.28103090528, 1.01984828342285)
(-0.373548376565, -0.977554081645009)
Mga agwat ng pagtaas at pagbaba ng pag-andar:
Hanapin natin ang mga agwat kung saan tumataas at bumababa ang function, pati na rin ang minima at maxima ng function, para dito tinitingnan natin kung paano kumikilos ang function sa sukdulan na may pinakamaliit na paglihis mula sa sukdulan:
Minima ng function sa mga punto: $$x_(3) = 0$$ Maxima ng function sa mga punto: $$x_(3) = 3.28103090528$$ $$x_(3) = -0.373548376565$$ Bumababa sa mga pagitan
(-oo, -0.373548376565] U U

Ang paghahanap ng lokal na maxima at minima ay hindi kumpleto nang walang pagkakaiba at kinakailangan sa pag-aaral ng function at pagbuo ng graph nito.

Ang isang punto ay tinatawag na isang punto ng lokal na maximum (o minimum) ng isang function kung mayroong ganoong kapitbahayan ng puntong ito na kabilang sa domain ng kahulugan ng function, at para sa lahat ng kapitbahayan na ito ang hindi pagkakapantay-pantay (o ) ay nasiyahan.

Ang maximum at minimum na mga puntos ay tinatawag na mga extremum point ng function, at ang mga halaga ng function sa mga extreme point ay tinatawag na mga extreme value nito.

KINAKAILANGAN NA KUNDISYON PARA SA LOKAL na Extremum:

Kung ang isang function ay may lokal na extremum sa isang punto, kung gayon ang derivative ay zero o wala ito.

Ang mga puntos na nakakatugon sa mga kinakailangan sa itaas ay tinatawag na mga kritikal na puntos.

Gayunpaman, sa bawat kritikal na punto, ang function ay may extremum.

Ang konsepto ng extremum ng isang function

Ang sagot sa tanong: ang kritikal na punto ba ay magiging isang extremum point ay ibinibigay ng sumusunod na teorama.

SAPAT NA KUNDISYON PARA SA PAGKAKAROON NG ISANG Extremum ng isang Function

Teorama I. Hayaang maging tuluy-tuloy ang function sa ilang agwat na naglalaman ng kritikal na punto at iba-iba sa lahat ng punto ng agwat na ito (na may posibleng pagbubukod sa mismong punto).

Pagkatapos, para sa isang punto, ang function ay may maximum kung ang kundisyon ay nasiyahan para sa mga argumento na ang derivative ay mas malaki sa zero, at para sa kundisyon, ang derivative ay mas mababa sa zero.

Kung para sa derivative ay mas mababa sa zero, at para sa ay mas malaki kaysa sa zero, kung gayon ang function ay may pinakamababa para sa punto.

Teorama II. Hayaang dalawang beses na naiba-iba ang function sa isang kapitbahayan ng punto at ang derivative ay katumbas ng zero. Pagkatapos sa puntong ang function ay may lokal na maximum kung ang pangalawang derivative ay mas mababa sa zero at isang lokal na minimum kung vice versa.

Kung ang pangalawang derivative ay katumbas ng zero, kung gayon ang punto ay maaaring hindi isang extremum point.

Kapag nag-iimbestiga ng mga function para sa extrema, parehong theorems ang ginagamit. Ang una ay mas simple sa pagsasanay, dahil hindi ito nangangailangan ng paghahanap ng pangalawang derivative.

MGA PANUNTUNAN PARA SA PAGHAHANAP NG EXTREMA (MAXIMUM AT MINIMUM) GAMIT ANG UNANG DERIVATIVE

1) hanapin ang domain ng kahulugan;

2) hanapin ang unang derivative;

3) maghanap ng mga kritikal na punto;

4) imbestigahan ang tanda ng derivative sa mga pagitan na nakuha mula sa paghahati ng domain ng kahulugan sa pamamagitan ng mga kritikal na puntos.

Sa kasong ito, ang kritikal na punto ay isang minimum na punto kung, kapag dumadaan dito mula kaliwa hanggang kanan, ang derivative ay nagbabago ng sign mula sa negatibo patungo sa positibo, kung hindi, ito ay isang pinakamataas na punto.

Sa halip na ang panuntunang ito, maaari mong tukuyin ang pangalawang derivative at siyasatin ayon sa pangalawang teorama.

5) kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga extremum point.

Isaalang-alang natin ngayon ang pag-aaral ng isang function para sa mga extremum gamit ang mga tiyak na halimbawa.

Koleksyon ng V.Yu. Klepko, V.L. Golets "Higher Mathematics in Examples and Problems"

1) Ang domain ng kahulugan ay ang hanay ng mga tunay na numero

2) Hanapin ang derivative

3) Kalkulahin ang mga kritikal na puntos

Pinaghiwa-hiwalay nila ang domain ng kahulugan sa mga sumusunod na pagitan

4) Sinisiyasat namin ang tanda ng derivative sa mga nahanap na pagitan sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit ng mga halaga

Kaya, ang unang punto ay ang pinakamababang punto, at ang pangalawa ay ang pinakamataas na punto.

5) Kalkulahin ang halaga ng function

1) Ang domain ng kahulugan ay ang hanay ng mga tunay na numero, kaya ang ugat ay palaging mas malaki sa isa

at ang arctangent function ay tinukoy sa buong real axis.

2) Hanapin ang derivative

3) Mula sa kondisyon na ang derivative ay katumbas ng zero, makikita natin ang kritikal na punto

Hinahati nito ang domain sa dalawang pagitan

4) Tukuyin ang tanda ng derivative sa bawat isa sa mga rehiyon

Kaya, nalaman namin na sa kritikal na punto ang function ay tumatagal sa isang minimum na halaga.

5) Kalkulahin ang extremum ng function

1) Tinutukoy ang function kapag ang denominator ay hindi naging zero

Ito ay sumusunod mula dito na ang domain ng kahulugan ay binubuo ng tatlong pagitan

2) Kalkulahin ang derivative

3) Itinutumbas namin ang derivative sa zero at hanapin ang mga kritikal na puntos.

4) Itinakda namin ang tanda ng derivative sa bawat isa sa mga rehiyon sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga katumbas na halaga.

Kaya, ang punto ay isang lokal na pinakamataas na punto, at isang lokal na minimum. Sa mayroon kaming isang inflection ng function, ngunit magkakaroon ng higit pang materyal tungkol dito sa mga artikulo sa hinaharap.

5) Hanapin ang halaga sa mga kritikal na punto

Sa kabila ng katotohanan na ang halaga ng function ay , ang unang punto ay isang lokal na pinakamataas na punto, at ang arko ay isang minimum na punto. Huwag matakot kung nakakuha ka ng mga katulad na resulta, kapag tinutukoy ang mga lokal na sukdulan, ang mga ganitong sitwasyon ay katanggap-tanggap.

Tingnan ang mga materyales:

Panitikan

1. Bogomolov N.V. Mga praktikal na aralin sa matematika. - M .: Mas mataas. paaralan, 2009

2. P.T.Apanasov, M.I.Orlov. Koleksyon ng mga problema sa matematika. - M .: Mas mataas. paaralan, 2009

Mga Alituntunin

Pagsisiyasat ng mga function sa tulong ng isang derivative. Paghahanap ng mga pagitan ng monotonicity

Teorama 1. Kung ang function na f(x) ay tinukoy at tuloy-tuloy sa interval (a;b) at f '(x) ay positibo sa lahat ng dako (f '(x)>0), kung gayon ang function ay tumataas sa interval (a;b ).

Teorama 2. Kung ang function na f(x) ay tinukoy at tuloy-tuloy sa pagitan (a;b) at f '(x) ay kahit saan negatibo (f '(x)<0), тогда функция убывает на промежутке (а;b).

Halimbawa1. Magsiyasat para sa monotonicity y = .

Solusyon: y'=2x-1

Ang numerical axis ay nahahati sa dalawang pagitan

Nangangahulugan ito na ang function ay bumababa sa pagitan (-;5) at ang function ay tumataas sa pagitan (5;).

Paghahanap ng extrema ng isang function

Ang function na f(x) ay may maximum (minimum) sa puntong x0 kung ang puntong ito ay may neighborhood kung saan f(x) f(x0)) para sa xx0.

Ang maximum at minimum ay pinagsama sa pangalang extremum.

Theorem 1. (kinakailangang kondisyon para sa isang extremum). Kung ang point x0 ay ang extremum point ng function na y \u003d f (x) at sa puntong ito mayroong derivative f '(x0), kung gayon ito ay katumbas ng zero: f '(x) \u003d 0.

Ang mga punto kung saan f '(x)=0 o wala ay tinatawag na kritikal.

Theorem 2. (sapat na kondisyon). Hayaang maging tuluy-tuloy ang function na f(x) sa puntong x0 at magkaroon ng derivative sa kapitbahayan nito, maliban marahil sa mismong puntong x0. Pagkatapos

a) kung ang derivative f '(x) ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus kapag dumadaan sa puntong x0, kung gayon ang puntong x0 ay ang pinakamataas na punto ng function na f (x);

b) kung ang derivative f '(x) ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus kapag dumadaan sa puntong x0, kung gayon ang puntong x0 ay ang pinakamababang punto ng function na f(x);

c) kung mayroong isang kapitbahayan (x0-; x0+) ng puntong x0 kung saan ang derivative na f '(x) ay nagpapanatili ng kanyang tanda, kung gayon sa puntong x0 ang function na ito f(x) ay walang extremum.

Halimbawa 2 Siyasatin ang extremum ng function na y \u003d 3 -5x - .

Solusyon: y'= -5-2x

Kapag dumadaan sa puntong x \u003d - 2.5, binabago ng derivative y 'ang sign mula "+" hanggang "-" ==> x \u003d -2.5 maximum na punto.

Sapat na mga kondisyon para sa extremum ng isang function.

xmax= - 2.5; ymax = 9.25.

Hindi mo nakita ang iyong hinahanap? Gamitin ang paghahanap:

Basahin din:

Ang paghahanap ng lokal na maxima at minima ay hindi kumpleto nang walang pagkakaiba at kinakailangan sa pag-aaral ng function at pagbuo ng graph nito.

Ang isang punto ay tinatawag na isang punto ng lokal na maximum (o minimum) ng isang function kung mayroong ganoong kapitbahayan ng puntong ito na kabilang sa domain ng kahulugan ng function, at para sa lahat ng kapitbahayan na ito ang hindi pagkakapantay-pantay (o ) ay nasiyahan.

Ang maximum at minimum na mga puntos ay tinatawag na mga extremum point ng function, at ang mga halaga ng function sa mga extreme point ay tinatawag na mga extreme value nito.

KINAKAILANGAN NA KUNDISYON PARA SA LOKAL na Extremum:

Kung ang isang function ay may lokal na extremum sa isang punto, kung gayon ang derivative ay zero o wala ito.

Ang mga puntos na nakakatugon sa mga kinakailangan sa itaas ay tinatawag na mga kritikal na puntos.

Gayunpaman, sa bawat kritikal na punto, ang function ay may extremum. Ang sagot sa tanong: ang kritikal na punto ba ay magiging isang extremum point ay ibinibigay ng sumusunod na teorama.

SAPAT NA KUNDISYON PARA SA PAGKAKAROON NG ISANG Extremum ng isang Function

Teorama I. Hayaang maging tuluy-tuloy ang function sa ilang agwat na naglalaman ng kritikal na punto at iba-iba sa lahat ng punto ng agwat na ito (na may posibleng pagbubukod sa mismong punto).

Pagkatapos, para sa isang punto, ang function ay may maximum kung ang kundisyon ay nasiyahan para sa mga argumento na ang derivative ay mas malaki sa zero, at para sa kundisyon, ang derivative ay mas mababa sa zero.

Kung para sa derivative ay mas mababa sa zero, at para sa ay mas malaki kaysa sa zero, kung gayon ang function ay may pinakamababa para sa punto.

Teorama II. Hayaang dalawang beses na naiba-iba ang function sa isang kapitbahayan ng punto at ang derivative ay katumbas ng zero.

Function extrema: mga palatandaan ng pagkakaroon, mga halimbawa ng mga solusyon

Pagkatapos sa puntong ang function ay may lokal na maximum kung ang pangalawang derivative ay mas mababa sa zero at isang lokal na minimum kung vice versa.

Kung ang pangalawang derivative ay katumbas ng zero, kung gayon ang punto ay maaaring hindi isang extremum point.

Kapag nag-iimbestiga ng mga function para sa extrema, parehong theorems ang ginagamit. Ang una ay mas simple sa pagsasanay, dahil hindi ito nangangailangan ng paghahanap ng pangalawang derivative.

MGA PANUNTUNAN PARA SA PAGHAHANAP NG EXTREMA (MAXIMUM AT MINIMUM) GAMIT ANG UNANG DERIVATIVE

1) hanapin ang domain ng kahulugan;

2) hanapin ang unang derivative;

3) maghanap ng mga kritikal na punto;

4) imbestigahan ang tanda ng derivative sa mga pagitan na nakuha mula sa paghahati ng domain ng kahulugan sa pamamagitan ng mga kritikal na puntos.

Sa kasong ito, ang kritikal na punto ay isang minimum na punto kung, kapag dumadaan dito mula kaliwa hanggang kanan, ang derivative ay nagbabago ng sign mula sa negatibo patungo sa positibo, kung hindi, ito ay isang pinakamataas na punto.

Sa halip na ang panuntunang ito, maaari mong tukuyin ang pangalawang derivative at siyasatin ayon sa pangalawang teorama.

5) kalkulahin ang mga halaga ng function sa mga extremum point.

Isaalang-alang natin ngayon ang pag-aaral ng isang function para sa mga extremum gamit ang mga tiyak na halimbawa.

Koleksyon ng V.Yu. Klepko, V.L. Golets "Higher Mathematics in Examples and Problems"

1) Ang domain ng kahulugan ay ang hanay ng mga tunay na numero

2) Hanapin ang derivative

3) Kalkulahin ang mga kritikal na puntos

Pinaghiwa-hiwalay nila ang domain ng kahulugan sa mga sumusunod na pagitan

4) Sinisiyasat namin ang tanda ng derivative sa mga nahanap na pagitan sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit ng mga halaga

Kaya, ang unang punto ay ang pinakamababang punto, at ang pangalawa ay ang pinakamataas na punto.

5) Kalkulahin ang halaga ng function

1) Ang domain ng kahulugan ay ang hanay ng mga tunay na numero, kaya ang ugat ay palaging mas malaki sa isa

at ang arctangent function ay tinukoy sa buong real axis.

2) Hanapin ang derivative

3) Mula sa kondisyon na ang derivative ay katumbas ng zero, makikita natin ang kritikal na punto

Hinahati nito ang domain sa dalawang pagitan

4) Tukuyin ang tanda ng derivative sa bawat isa sa mga rehiyon

Kaya, nalaman namin na sa kritikal na punto ang function ay tumatagal sa isang minimum na halaga.

5) Kalkulahin ang extremum ng function

1) Tinutukoy ang function kapag ang denominator ay hindi naging zero

Ito ay sumusunod mula dito na ang domain ng kahulugan ay binubuo ng tatlong pagitan

2) Kalkulahin ang derivative

3) Itinutumbas namin ang derivative sa zero at hanapin ang mga kritikal na puntos.

4) Itinakda namin ang tanda ng derivative sa bawat isa sa mga rehiyon sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga katumbas na halaga.

Kaya, ang punto ay isang lokal na pinakamataas na punto, at isang lokal na minimum. Sa mayroon kaming isang inflection ng function, ngunit magkakaroon ng higit pang materyal tungkol dito sa mga artikulo sa hinaharap.

5) Hanapin ang halaga sa mga kritikal na punto

Sa kabila ng katotohanan na ang halaga ng function ay , ang unang punto ay isang lokal na pinakamataas na punto, at ang arko ay isang minimum na punto. Huwag matakot kung nakakuha ka ng mga katulad na resulta, kapag tinutukoy ang mga lokal na sukdulan, ang mga ganitong sitwasyon ay katanggap-tanggap.

Tingnan ang mga materyales:

Higher Mathematics » Function ng ilang variable » Extremum ng function ng dalawang variable

Extremum ng isang function ng dalawang variable. Mga halimbawa ng pag-aaral ng mga function para sa extremum.

Hayaang tukuyin ang function na $z=f(x,y)$ sa ilang kapitbahayan ng puntong $(x_0,y_0)$. Sinasabing ang $(x_0,y_0)$ ay isang punto ng (lokal) maximum kung para sa lahat ng puntos na $(x,y)$ sa ilang kapitbahayan ng $(x_0,y_0)$ ang hindi pagkakapantay-pantay $f(x,y)< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, pagkatapos ay ang puntong $(x_0,y_0)$ ay tinatawag na (lokal) na pinakamababang punto.

Ang matataas at mababang mga punto ay madalas na tinutukoy ng generic na terminong mga extremum point.

Kung ang $(x_0,y_0)$ ay isang maximum na punto, kung gayon ang halaga ng function na $f(x_0,y_0)$ sa puntong ito ay tinatawag na maximum ng function na $z=f(x,y)$. Alinsunod dito, ang halaga ng function sa pinakamababang punto ay tinatawag na minimum ng function $z=f(x,y)$. Ang minima at maxima ng isang function ay pinagsama ng isang karaniwang termino - ang extrema ng isang function.

Algorithm para sa pag-aaral ng function na $z=f(x,y)$ para sa isang extremum

1. Hanapin ang mga partial derivatives ng $\frac(\partial z)(\partial x)$ at $\frac(\partial z)(\partial y)$. Buuin at lutasin ang sistema ng mga equation $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 . \ end(aligned) \right.$ Ang mga puntos na ang mga coordinate ay nakakatugon sa tinukoy na sistema ay tinatawag na stationary.
2. Hanapin ang $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ at kalkulahin ang value na $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\ frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ sa bawat nakatigil na punto. Pagkatapos nito, gamitin ang sumusunod na scheme:

1. Kung $\Delta > 0$ at $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (o $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$), pagkatapos ay sa puntong pinag-aaralan ay ang pinakamababang punto.
2. Kung $\Delta > 0$ at $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
3. Kung ang $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
4. Kung $\Delta = 0$, walang tiyak na masasabi tungkol sa pagkakaroon ng extremum; kailangan ng karagdagang pananaliksik.

Tandaan (kanais-nais para sa isang mas mahusay na pag-unawa sa teksto): ipakita\itago

Kung $\Delta > 0$ pagkatapos ay $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ partial ^2z)(\partial x\partial y) \right)^2 > 0$. At mula rito ay sumusunod na $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z ) (\partial x\partial y) \right)^2 ≥ 0$. Yung. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Kung ang produkto ng ilang dami ay mas malaki sa zero, kung gayon ang mga dami na ito ay may parehong tanda. Iyon ay, halimbawa, kung $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, pagkatapos ay $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Sa madaling salita, kung $\Delta > 0$ kung gayon ang mga palatandaan ng $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ at $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ ay pareho.

Halimbawa #1

Siyasatin ang function na $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ para sa isang extremum.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=8x-6y-34; \frac(\partial z)(\partial y)=-6x+10y+42. $$

$$ \left \( \begin(aligned) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(aligned) \right. $$

Bawasan natin ang bawat equation ng system na ito ng $2$ at ilipat ang mga numero sa kanang bahagi ng mga equation:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(aligned) \right. $$

Nakakuha kami ng isang sistema ng mga linear algebraic equation. Sa sitwasyong ito, tila sa akin ang pinaka-maginhawang aplikasyon ng paraan ng Cramer upang malutas ang resultang sistema.

$$ \begin(aligned) & \Delta=\left| \begin(array) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(array)\kanan|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \ & \Delta_x=\left| \begin(array) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(array)\kanan|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \ & \Delta_y=\left| \begin(array) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(array)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(aligned) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

Ang mga halaga na $x=2$, $y=-3$ ay ang mga coordinate ng nakatigil na punto $(2;-3)$.

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=8; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=-6. $$

Kalkulahin natin ang halaga ng $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

Dahil ang $\Delta > 0$ at $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, ayon sa algorithm, ang puntong $(2;-3)$ ay ang pinakamababang punto ng function na $z$. Nahanap namin ang minimum ng function na $z$ sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coordinate ng puntong $(2;-3)$ sa ibinigay na function:

$$ z_(min)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot(-3)+7=-90. $$

Sagot: $(2;-3)$ - pinakamababang punto; $z_(min)=-90$.

Halimbawa #2

Siyasatin ang function na $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ para sa isang extremum.

Susundin namin ang algorithm sa itaas. Una, hanapin natin ang mga partial derivatives ng unang order:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12. $$

Buuin ang sistema ng mga equation $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \ end( aligned)\right.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(aligned) \right. $$

Bawasan ang unang equation ng 3 at ang pangalawa ng 6.

$$ \left \( \begin(aligned) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(aligned) \right. $$

Kung $x=0$, ang pangalawang equation ay magdadala sa atin sa isang kontradiksyon: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. Kaya ang konklusyon: $x\neq 0$. Pagkatapos mula sa pangalawang equation mayroon kaming: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. Ang pagpapalit ng $y=\frac(2)(x)$ sa unang equation, mayroon kaming:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

Nakakuha kami ng biquadratic equation. Ginagawa namin ang pagpapalit $t=x^2$ (natatandaan namin na $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(aligned) $$

Kung $t=1$, kung gayon ang $x^2=1$. Kaya mayroon kaming dalawang halaga ng $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Kung $t=4$, kung gayon ang $x^2=4$, ibig sabihin. $x_3=2$, $x_4=-2$. Ang pag-alala na $y=\frac(2)(x)$, nakukuha namin ang:

\begin(aligned) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \end(nakahanay)

Kaya, mayroon kaming apat na nakatigil na puntos: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. Kinukumpleto nito ang unang hakbang ng algorithm.

Ngayon magpatuloy tayo sa pangalawang hakbang ng algorithm. Maghanap tayo ng mga partial derivatives ng pangalawang order:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=6y. $$

Hanapin ang $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

Ngayon ay kakalkulahin namin ang halaga ng $\Delta$ sa bawat isa sa mga naunang natagpuang nakatigil na mga punto. Magsimula tayo sa puntong $M_1(1;2)$. Sa puntong ito mayroon kaming: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. Mula noong $\Delta(M_1)< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_1$ экстремума нет.

Tuklasin natin ang puntong $M_2(-1;-2)$. Sa puntong ito mayroon kaming: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. Mula noong $\Delta(M_2)< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_2$ экстремума нет.

Suriin natin ang puntong $M_3(2;1)$. Sa puntong ito nakukuha natin:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

Dahil $\Delta(M_3) > 0$ at $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, pagkatapos ay ayon sa algorithm na $M_3( 2 ;1)$ ay ang pinakamababang punto ng function na $z$. Nahanap namin ang minimum ng function na $z$ sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coordinate ng puntong $M_3$ sa ibinigay na function:

$$ z_(min)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

Nananatili itong tuklasin ang puntong $M_4(-2;-1)$. Sa puntong ito nakukuha natin:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

Dahil $\Delta(M_4) > 0$ at $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно алгоритму $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(max)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

Natapos ang matinding pag-aaral. Ito ay nananatiling lamang upang isulat ang sagot.

• $(2;1)$ - pinakamababang punto, $z_(min)=-27$;
• $(-2;-1)$ - maximum na punto, $z_(max)=29$.

Tandaan

Sa pangkalahatang kaso, hindi na kailangang kalkulahin ang halaga ng $\Delta$, dahil interesado lamang kami sa sign, at hindi sa partikular na halaga ng parameter na ito. Halimbawa, para sa halimbawang No. 2 na isinasaalang-alang sa itaas, sa puntong $M_3(2;1)$ mayroon kaming $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. Dito ay malinaw na ang $\Delta > 0$ (dahil ang parehong mga salik na $36$ at $(2^2-1^2)$ ay positibo) at posibleng hindi makahanap ng partikular na halaga ng $\Delta$. Totoo, ang pangungusap na ito ay walang silbi para sa karaniwang mga kalkulasyon - kailangan nilang dalhin ang mga kalkulasyon sa isang numero 🙂

Halimbawa #3

Siyasatin ang function na $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ para sa isang extremum.

Sundin natin ang algorithm. Una, hanapin natin ang mga partial derivatives ng unang order:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y. $$

Buuin ang sistema ng mga equation $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \ end( aligned)\right.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(aligned) \right. $$

Bawasan natin ang parehong equation ng $4$:

$$ \left \( \begin(aligned) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(aligned) \right. $$

Idagdag natin ang unang equation sa pangalawa at ipahayag ang $y$ sa mga tuntunin ng $x$:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

Ang pagpapalit ng $y=-x$ sa unang equation ng system, magkakaroon tayo ng:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

Mula sa resultang equation mayroon tayong: $x=0$ o $x^2-2=0$. Ito ay sumusunod mula sa equation na $x^2-2=0$ na $x=-\sqrt(2)$ o $x=\sqrt(2)$. Kaya, tatlong value ng $x$ ang matatagpuan, ibig sabihin: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. Dahil $y=-x$, pagkatapos ay $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

Tapos na ang unang hakbang ng solusyon.

Paano mahanap ang extremum (minimum at maximum na mga puntos) ng isang function

Nakakuha kami ng tatlong nakatigil na puntos: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

Ngayon magpatuloy tayo sa pangalawang hakbang ng algorithm. Maghanap tayo ng mga partial derivatives ng pangalawang order:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=12x^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=12y^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=4. $$

Hanapin ang $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

Ngayon ay kakalkulahin namin ang halaga ng $\Delta$ sa bawat isa sa mga naunang natagpuang nakatigil na mga punto. Magsimula tayo sa puntong $M_1(0;0)$. Sa puntong ito mayroon kaming: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. Dahil ang $\Delta(M_1) = 0$, kung gayon, ayon sa algorithm, kinakailangan ang karagdagang pananaliksik, dahil walang tiyak na masasabi tungkol sa pagkakaroon ng extremum sa isinasaalang-alang na punto. Iwanan natin ang puntong ito pansamantala at magpatuloy sa iba pang mga punto.

Suriin natin ang puntong $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$. Sa puntong ito nakukuha natin:

\begin(aligned) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \end(nakahanay)

Dahil $\Delta(M_2) > 0$ at $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, pagkatapos ay ayon sa $M_2(- Ang \sqrt(2),\sqrt(2))$ ay ang pinakamababang punto ng function na $z$. Nahanap namin ang minimum ng function na $z$ sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coordinate ng puntong $M_2$ sa ibinigay na function:

$$ z_(min)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Katulad ng nakaraang punto, sinusuri namin ang puntong $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$. Sa puntong ito nakukuha natin:

\begin(aligned) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \end(nakahanay)

Dahil $\Delta(M_3) > 0$ at $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, pagkatapos ay ayon sa $M_3(\ Ang sqrt(2),-\sqrt(2))$ ay ang pinakamababang punto ng function na $z$. Nahanap namin ang minimum ng function na $z$ sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coordinate ng puntong $M_3$ sa ibinigay na function:

$$ z_(min)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2 ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Oras na para bumalik sa puntong $M_1(0;0)$, kung saan ang $\Delta(M_1) = 0$. Ayon sa algorithm, kinakailangan ang karagdagang pananaliksik. Itong umiiwas na parirala ay nangangahulugang "gawin mo ang gusto mo" :). Walang pangkalahatang paraan upang malutas ang mga ganitong sitwasyon - at ito ay naiintindihan. Kung may ganoong paraan, matagal na sana itong naipasok sa lahat ng mga aklat-aralin. Pansamantala, kailangan nating maghanap ng isang espesyal na diskarte sa bawat punto kung saan $\Delta = 0$. Well, imbestigahan natin ang pag-uugali ng function sa paligid ng puntong $M_1(0;0)$. Napansin namin kaagad na $z(M_1)=z(0;0)=3$. Ipagpalagay na ang $M_1(0;0)$ ay isang minimum na punto. Pagkatapos ay para sa anumang puntong $M$ mula sa ilang kapitbahayan ng puntong $M_1(0;0)$ makakakuha tayo ng $z(M) > z(M_1) $, i.e. $z(M) > 3$. Paano kung ang anumang kapitbahayan ay naglalaman ng mga punto kung saan $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

Isaalang-alang ang mga punto kung saan $y=0$, i.e. mga punto ng anyong $(x,0)$. Sa mga puntong ito, ang function na $z$ ay kukuha sa mga sumusunod na halaga:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

Sa lahat ng sapat na maliliit na kapitbahayan $M_1(0;0)$ mayroon kaming $x^2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

Ngunit marahil ang puntong $M_1(0;0)$ ay isang pinakamataas na punto? Kung ito ay gayon, kung gayon para sa anumang punto $M$ mula sa ilang kapitbahayan ng puntong $M_1(0;0)$ makakakuha tayo ng $z(M)< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? Pagkatapos ay tiyak na hindi magkakaroon ng maximum sa puntong $M_1$.

Isaalang-alang ang mga punto kung saan $y=x$, i.e. mga punto ng anyong $(x,x)$. Sa mga puntong ito, ang function na $z$ ay kukuha sa mga sumusunod na halaga:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

Dahil sa alinmang kapitbahayan ng puntong $M_1(0;0)$ mayroon kaming $2x^4 > 0$, pagkatapos ay $2x^4+3 > 3$. Konklusyon: anumang kapitbahayan ng puntong $M_1(0;0)$ ay naglalaman ng mga puntos kung saan ang $z > 3$, kaya ang puntong $M_1(0;0)$ ay hindi maaaring maging pinakamataas na punto.

Ang puntong $M_1(0;0)$ ay hindi maximum o minimum. Konklusyon: Ang $M_1$ ay hindi isang matinding punto.

Sagot: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ ay mga minimum na puntos ng function na $z$. Sa parehong mga punto $z_(min)=-5$.

Mga online na klase sa mas mataas na matematika

Upang matukoy ang likas na katangian ng isang function at pag-usapan ang pag-uugali nito, kinakailangan upang mahanap ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba. Ang prosesong ito ay tinatawag na function exploration at plotting. Ginagamit ang extremum point kapag hinahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function, dahil pinapataas o binabawasan nila ang function mula sa interval.

Ang artikulong ito ay nagpapakita ng mga kahulugan, bumubuo kami ng isang sapat na tanda ng pagtaas at pagbaba sa pagitan at ang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum. Nalalapat ito sa paglutas ng mga halimbawa at problema. Ang seksyon sa pagkita ng kaibhan ng mga pag-andar ay dapat na ulitin, dahil kapag ang paglutas ay kinakailangan na gamitin ang paghahanap ng derivative.

Kahulugan 1

Ang function na y = f (x) ay tataas sa pagitan ng x kapag para sa alinmang x 1 ∈ X at x 2 ∈ X , x 2 > x 1 ang hindi pagkakapantay-pantay f (x 2) > f (x 1) ay magiging magagawa. Sa madaling salita, ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function.

Kahulugan 2

Ang function na y = f (x) ay itinuturing na bumababa sa pagitan ng x kapag para sa alinmang x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 ang equality f (x 2) > f (x 1) ay isinasaalang-alang magagawa. Sa madaling salita, ang isang mas malaking halaga ng function ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng argumento. Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Komento: Kapag ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa mga dulo ng pataas at pababang pagitan, ibig sabihin, (a; b) kung saan ang x = a, x = b, ang mga puntos ay kasama sa pataas at pababang pagitan. Hindi ito sumasalungat sa kahulugan, na nangangahulugan na ito ay nagaganap sa pagitan ng x.

Ang mga pangunahing katangian ng elementarya na pag-andar ng uri y = sin x ay ang katiyakan at pagpapatuloy para sa mga tunay na halaga ng mga argumento. Mula dito nakuha namin na ang pagtaas sa sine ay nangyayari sa pagitan - π 2; π 2, pagkatapos ay ang pagtaas sa segment ay may anyo - π 2; π 2 .

Kahulugan 3

Ang puntong x 0 ay tinatawag pinakamataas na punto para sa isang function na y = f (x) kapag para sa lahat ng mga halaga ng x ang hindi pagkakapantay-pantay f (x 0) ≥ f (x) ay totoo. Pinakamataas na function ay ang halaga ng function sa punto, at ipinapahiwatig ng y m a x .

Ang punto x 0 ay tinatawag na pinakamababang punto para sa function na y \u003d f (x) kapag para sa lahat ng mga halaga ng x ang hindi pagkakapantay-pantay f (x 0) ≤ f (x) ay totoo. Tampok na Minimum ay ang halaga ng function sa punto, at may notasyon ng form na y m i n .

Ang mga kapitbahayan ng punto x 0 ay isinasaalang-alang matinding puntos, at ang halaga ng function na tumutugma sa mga extremum point. Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Extrema ng function na may pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function. Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Ang unang figure ay nagsasabi na ito ay kinakailangan upang mahanap ang pinakamalaking halaga ng function mula sa segment [ a ; b] . Ito ay matatagpuan gamit ang pinakamataas na puntos at katumbas ng pinakamataas na halaga ng function, at ang pangalawang figure ay mas katulad ng paghahanap ng maximum na punto sa x = b.

Sapat na mga kondisyon para sa pagtaas at pagbaba ng mga function

Upang mahanap ang maxima at minima ng isang function, kinakailangan na ilapat ang mga palatandaan ng isang extremum sa kaso kapag ang function ay nakakatugon sa mga kundisyong ito. Ang unang tampok ay ang pinakakaraniwang ginagamit.

Ang unang sapat na kondisyon para sa isang extremum

Kahulugan 4

Hayaang maibigay ang isang function na y = f (x), na naiba sa ε kapitbahayan ng puntong x 0 , at may pagpapatuloy sa ibinigay na punto x 0 . Kaya nakukuha namin iyon

• kapag f "(x) > 0 na may x ∈ (x 0 - ε; x 0) at f" (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• kapag f"(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 para sa x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , pagkatapos ay x 0 ang pinakamababang punto.

Sa madaling salita, nakukuha namin ang kanilang mga kundisyon sa pagtatakda ng sign:

• kapag ang pag-andar ay tuloy-tuloy sa puntong x 0, kung gayon mayroon itong hinalaw na may nagbabagong tanda, iyon ay, mula + hanggang -, na nangangahulugan na ang punto ay tinatawag na pinakamataas;
• kapag ang function ay tuloy-tuloy sa puntong x 0, pagkatapos ay mayroon itong derivative na may nagbabagong sign mula - hanggang +, na nangangahulugan na ang punto ay tinatawag na minimum.

Upang matukoy nang tama ang maximum at minimum na mga punto ng function, dapat mong sundin ang algorithm para sa paghahanap ng mga ito:

• hanapin ang domain ng kahulugan;
• hanapin ang derivative ng function sa lugar na ito;
• tukuyin ang mga zero at punto kung saan wala ang function;
• pagtukoy ng tanda ng derivative sa mga pagitan;
• piliin ang mga punto kung saan nagbabago ang function ng sign.

Isaalang-alang ang algorithm sa halimbawa ng paglutas ng ilang mga halimbawa ng paghahanap ng extrema ng function.

Halimbawa 1

Hanapin ang maximum at minimum na puntos ng ibinigay na function y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Solusyon

Ang domain ng function na ito ay lahat ng tunay na numero maliban sa x = 2. Una, hinahanap namin ang derivative ng function at makuha ang:

y "= 2 x + 1 2 x - 2" = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2

Mula dito nakita natin na ang mga zero ng function ay x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2, iyon ay, ang bawat bracket ay dapat na katumbas ng zero. Markahan sa linya ng numero at makuha ang:

Ngayon tinutukoy namin ang mga palatandaan ng derivative mula sa bawat pagitan. Kinakailangang pumili ng isang punto na kasama sa pagitan, palitan ito sa expression. Halimbawa, ang mga puntos na x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Nakukuha namin iyon

y "(- 2) \u003d 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2 x \u003d - 2 \u003d 2 (- 2 + 1) (- 2 - 5) (- 2 - 2 ) 2 \u003d 2 7 16 \u003d 7 8 > 0, samakatuwid, ang pagitan - ∞; - 1 ay may positibong derivative. Sa katulad na paraan, nakuha namin iyon

y "(0) = 2 (0 + 1) 0 - 5 0 - 2 2 = 2 - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Dahil ang pangalawang pagitan ay naging mas mababa sa zero, nangangahulugan ito na ang derivative sa segment ay magiging negatibo. Ang pangatlo ay may minus, ang pang-apat ay may plus. Upang matukoy ang pagpapatuloy, kinakailangang bigyang-pansin ang pag-sign ng derivative, kung ito ay nagbabago, kung gayon ito ay isang extremum point.

Nakukuha namin na sa puntong x = - 1 ang function ay magiging tuluy-tuloy, na nangangahulugan na ang derivative ay magbabago ng sign mula + hanggang -. Ayon sa unang palatandaan, mayroon tayong x = - 1 ang pinakamataas na punto, na nangangahulugang nakukuha natin

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Ang puntong x = 5 ay nagpapahiwatig na ang function ay tuloy-tuloy, at ang derivative ay magbabago ng sign mula - hanggang +. Samakatuwid, ang x=-1 ay ang pinakamababang punto, at ang paghahanap nito ay may anyo

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Graphic na larawan

Sagot: y m a x = y (- 1) = 0 , y m i n = y (5) = 24 .

Ito ay nagkakahalaga ng pagbibigay pansin sa katotohanan na ang paggamit ng unang sapat na pag-sign ng isang extremum ay hindi nangangailangan ng pag-andar upang maging differentiable mula sa punto x 0 , at ito ay nagpapadali sa pagkalkula.

Halimbawa 2

Hanapin ang pinakamataas at pinakamababang puntos ng function na y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 .

Solusyon.

Ang domain ng isang function ay lahat ng tunay na numero. Ito ay maaaring isulat bilang isang sistema ng mga equation ng anyo:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Pagkatapos ay kailangan mong hanapin ang derivative:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Ang puntong x = 0 ay walang derivative, dahil ang mga halaga ng mga one-sided na limitasyon ay iba. Nakukuha namin iyon:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Ito ay sumusunod na ang function ay tuloy-tuloy sa puntong x = 0, pagkatapos ay kinakalkula namin

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 (0 - 0) 3 - 2 (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 ( 0 + 0) 2 + 22 3 (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Kinakailangang magsagawa ng mga kalkulasyon upang mahanap ang halaga ng argumento kapag ang derivative ay naging zero:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Ang lahat ng mga puntos na nakuha ay dapat markahan sa linya upang matukoy ang tanda ng bawat pagitan. Samakatuwid, kinakailangang kalkulahin ang derivative sa mga arbitrary na punto para sa bawat pagitan. Halimbawa, maaari tayong kumuha ng mga puntos na may mga halaga x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Nakukuha namin iyon

y " (- 6) \u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x \u003d - 6 \u003d - 1 2 - 6 2 - 4 (- 6) - 22 3 \u003d - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Ang imahe sa isang tuwid na linya ay may anyo

Kaya, dumating tayo sa punto na kinakailangan na mag-resort sa unang tanda ng isang extremum. Kinakalkula namin at nakuha iyon

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , pagkatapos mula dito ang pinakamataas na puntos ay may mga halaga x = - 4 + 2 3 3 , x = 4-2 3 3

Magpatuloy tayo sa pagkalkula ng mga minimum:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Kalkulahin natin ang maxima ng function. Nakukuha namin iyon

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Graphic na larawan

Sagot:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 x 3 y m = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Kung ang function na f "(x 0) = 0 ay ibinigay, kung gayon kasama ang f "" (x 0) > 0 natin na ang x 0 ay ang pinakamababang punto kung f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Halimbawa 3

Hanapin ang maxima at minima ng function na y = 8 x x + 1 .

Solusyon

Una, hanapin natin ang domain ng kahulugan. Nakukuha namin iyon

D (y): x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Ito ay kinakailangan upang pag-iba-ibahin ang pag-andar, pagkatapos na makuha namin

y "= 8 x x + 1" = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Kapag x = 1, ang derivative ay magiging katumbas ng zero, na nangangahulugan na ang punto ay posibleng extremum. Para sa paglilinaw, kinakailangan upang mahanap ang pangalawang derivative at kalkulahin ang halaga sa x \u003d 1. Nakukuha namin ang:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x "(x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2" x + (x + 1) 2 x "(x + 1) 4 x == 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 - 4 8 = - 1< 0

Samakatuwid, gamit ang 2 sapat na kondisyon para sa extremum, nakuha namin na ang x = 1 ay ang pinakamataas na punto. Kung hindi, ang entry ay y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 .

Graphic na larawan

Sagot: y m a x = y (1) = 4 ..

Kahulugan 5

Ang function na y = f (x) ay may derivative nito hanggang sa ika-n order sa ε neighborhood ng ibinigay na point x 0 at ang derivative nito hanggang sa n + 1st order sa point x 0 . Pagkatapos f "(x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Kasunod nito na kapag ang n ay isang even na numero, kung gayon ang x 0 ay itinuturing na isang inflection point, kapag ang n ay isang kakaibang numero, kung gayon ang x 0 ay isang extremum point, at ang f (n + 1) (x 0) > 0, pagkatapos ay x Ang 0 ay isang minimum na punto, f(n+1)(x0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Halimbawa 4

Hanapin ang maximum at minimum na puntos ng function na y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 .

Solusyon

Ang orihinal na function ay isang buong makatwiran, kaya sumusunod na ang domain ng kahulugan ay ang lahat ng tunay na mga numero. Ang pag-andar ay kailangang maiiba. Nakukuha namin iyon

y "= 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " == 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Ang derivative na ito ay mapupunta sa zero sa x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Iyon ay, ang mga puntos ay maaaring mga punto ng isang posibleng extremum. Ito ay kinakailangan upang ilapat ang ikatlong sapat na extremum kondisyon. Ang paghahanap ng pangalawang derivative ay nagbibigay-daan sa iyo upang tumpak na matukoy ang pagkakaroon ng maximum at minimum ng isang function. Ang pangalawang derivative ay kinakalkula sa mga punto ng posibleng extremum nito. Nakukuha namin iyon

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Nangangahulugan ito na ang x 2 \u003d 5 7 ay ang pinakamataas na punto. Paglalapat ng 3 sapat na pamantayan, makuha natin iyon para sa n = 1 at f (n + 1) 5 7< 0 .

Ito ay kinakailangan upang matukoy ang likas na katangian ng mga puntos x 1 = - 1, x 3 = 3. Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang pangatlong derivative, kalkulahin ang mga halaga sa mga puntong ito. Nakukuha namin iyon

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " == 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Kaya, ang x 1 = - 1 ay ang inflection point ng function, dahil para sa n = 2 at f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Kinakailangang siyasatin ang punto x 3 = 3 . Upang gawin ito, hanapin namin ang ika-4 na derivative at magsagawa ng mga kalkulasyon sa puntong ito:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " == 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Mula sa itaas, napagpasyahan namin na ang x 3 \u003d 3 ay ang pinakamababang punto ng function.

Graphic na larawan

Sagot: Ang x 2 \u003d 5 7 ay ang pinakamataas na punto, x 3 \u003d 3 - ang pinakamababang punto ng ibinigay na function.

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang pagtaas at pagbaba ng mga pagitan ay nagbibigay ng napakahalagang impormasyon tungkol sa pag-uugali ng isang function. Ang paghahanap sa kanila ay bahagi ng paggalugad ng function at proseso ng pag-plot. Bilang karagdagan, ang mga extremum point, kung saan mayroong isang pagbabago mula sa pagtaas hanggang sa pagbaba o mula sa pagbaba hanggang sa pagtaas, ay binibigyan ng espesyal na pansin kapag hinahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa isang tiyak na agwat.

Sa artikulong ito, ibibigay namin ang mga kinakailangang kahulugan, bumalangkas ng sapat na pamantayan para sa pagtaas at pagbaba ng isang function sa isang pagitan at sapat na mga kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum, at ilapat ang buong teorya na ito sa paglutas ng mga halimbawa at problema.

Pag-navigate sa pahina.

Ang pagtaas at pagbaba ng function sa isang agwat.

Kahulugan ng pagtaas ng function.

Ang function na y=f(x) ay tumataas sa pagitan ng X kung para sa anuman at nasiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay. Sa madaling salita, ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function.

Pagbaba ng kahulugan ng function.

Ang function na y=f(x) ay bumababa sa pagitan ng X kung para sa anuman at ang hindi pagkakapantay-pantay . Sa madaling salita, ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function.

REMARK: kung ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa mga dulo ng pagitan ng pagtaas o pagbaba (a;b) , iyon ay, sa x=a at x=b , kung gayon ang mga puntong ito ay kasama sa pagitan ng pagtaas o pagbaba. Hindi ito sumasalungat sa mga kahulugan ng pagtaas at pagbaba ng function sa interval X .

Halimbawa, mula sa mga katangian ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya, alam natin na ang y=sinx ay tinukoy at tuloy-tuloy para sa lahat ng tunay na halaga ng argumento. Samakatuwid, mula sa pagtaas ng function ng sine sa pagitan, maaari nating igiit ang pagtaas sa pagitan .

Extremum point, function extrema.

Tinatawag ang punto pinakamataas na punto function na y=f(x) kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo para sa lahat ng x mula sa kapitbahayan nito. Ang halaga ng function sa pinakamataas na punto ay tinatawag maximum na function at tukuyin ang .

Tinatawag ang punto pinakamababang punto function na y=f(x) kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo para sa lahat ng x mula sa kapitbahayan nito. Ang halaga ng function sa pinakamababang punto ay tinatawag minimum na function at tukuyin ang .

Ang kapitbahayan ng isang punto ay nauunawaan bilang ang pagitan , kung saan may sapat na maliit na positibong numero.

Tinatawag ang pinakamababa at pinakamataas na puntos matinding puntos, at ang mga halaga ng function na tumutugma sa mga extremum point ay tinatawag function extrema.

Huwag malito ang mga sukdulan ng pag-andar sa maximum at minimum na mga halaga ng pag-andar.

Sa unang figure, ang maximum na halaga ng function sa segment ay naabot sa pinakamataas na punto at katumbas ng maximum ng function, at sa pangalawang figure, ang maximum na halaga ng function ay naabot sa punto x=b , na hindi ang pinakamataas na punto.

Sapat na mga kondisyon para sa pagtaas at pagbaba ng mga function.

Sa batayan ng sapat na mga kondisyon (mga palatandaan) para sa pagtaas at pagbaba ng function, ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function ay matatagpuan.

Narito ang mga pormulasyon ng mga palatandaan ng pagtaas at pagbaba ng mga function sa pagitan:

• kung ang derivative ng function y=f(x) ay positibo para sa alinmang x mula sa interval X , kung gayon ang function ay tataas ng X ;
• kung ang derivative ng function na y=f(x) ay negatibo para sa alinmang x mula sa interval X , kung gayon ang function ay bumababa sa X .

Kaya, upang matukoy ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng isang function, ito ay kinakailangan:

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paghahanap ng mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng mga function upang linawin ang algorithm.

Halimbawa.

Hanapin ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function.

Solusyon.

Ang unang hakbang ay upang mahanap ang saklaw ng pag-andar. Sa aming halimbawa, ang expression sa denominator ay hindi dapat maglaho, samakatuwid, .

Magpatuloy tayo sa paghahanap ng derivative ng function:

Upang matukoy ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng isang function sa pamamagitan ng isang sapat na pamantayan, nilulutas namin ang mga hindi pagkakapantay-pantay at sa domain ng kahulugan. Gamitin natin ang generalization ng interval method. Ang tanging tunay na ugat ng numerator ay x = 2 , at ang denominator ay naglalaho sa x=0 . Hinahati ng mga puntong ito ang domain ng kahulugan sa mga pagitan kung saan ang derivative ng function ay nagpapanatili ng sign nito. Markahan natin ang mga puntong ito sa linya ng numero. Sa pamamagitan ng mga plus at minus, may kondisyon kaming tinutukoy ang mga pagitan kung saan ang derivative ay positibo o negatibo. Ang mga arrow sa ibaba ay schematically na nagpapakita ng pagtaas o pagbaba ng function sa kaukulang agwat.

Sa ganitong paraan, at .

Sa punto x=2 ang function ay tinukoy at tuloy-tuloy, kaya dapat itong idagdag sa parehong pataas at pababang pagitan. Sa puntong x=0, ang function ay hindi tinukoy, kaya ang puntong ito ay hindi kasama sa mga kinakailangang pagitan.

Ipinakita namin ang graph ng function upang ihambing ang mga nakuhang resulta dito.

Sagot:

Tumataas ang function sa , bumababa sa pagitan (0;2] .

Sapat na mga kondisyon para sa extremum ng isang function.

Upang mahanap ang maxima at minima ng isang function, maaari mong gamitin ang alinman sa tatlong extremum sign, siyempre, kung ang function ay nakakatugon sa kanilang mga kundisyon. Ang pinakakaraniwan at maginhawa ay ang una sa kanila.

Ang unang sapat na kondisyon para sa isang extremum.

Hayaan ang function na y=f(x) na maging differentiable sa isang -kapitbahayan ng punto at maging tuloy-tuloy sa mismong punto.

Sa ibang salita:

Algorithm para sa paghahanap ng mga extremum point sa pamamagitan ng unang sign ng function na extremum.

• Paghahanap ng saklaw ng function.
• Nahanap namin ang derivative ng function sa domain ng kahulugan.
• Tinutukoy namin ang mga zero ng numerator, ang mga zero ng denominator ng derivative, at ang mga punto ng domain kung saan ang derivative ay hindi umiiral (lahat ng mga nakalistang punto ay tinatawag na mga punto ng posibleng extremum, na dumadaan sa mga puntong ito, ang derivative ay maaari lamang magbago ng sign nito).
• Hinahati ng mga puntong ito ang domain ng function sa mga pagitan kung saan pinapanatili ng derivative ang sign nito. Tinutukoy namin ang mga palatandaan ng derivative sa bawat isa sa mga pagitan (halimbawa, sa pamamagitan ng pagkalkula ng halaga ng derivative ng function sa anumang punto ng isang solong pagitan).
• Pinipili namin ang mga punto kung saan ang pag-andar ay tuloy-tuloy at, na dumadaan sa kung saan, ang mga derivative na pagbabago ay nag-sign - sila ang mga extremum point.

Napakaraming salita, isaalang-alang natin ang ilang halimbawa ng paghahanap ng mga extremum point at extremums ng isang function gamit ang unang sapat na kundisyon para sa extremum ng isang function.

Halimbawa.

Hanapin ang extrema ng function .

Solusyon.

Ang saklaw ng function ay ang buong hanay ng mga tunay na numero, maliban sa x=2 .

Nahanap namin ang derivative:

Ang mga zero ng numerator ay ang mga puntos na x=-1 at x=5 , ang denominator ay napupunta sa zero sa x=2 . Markahan ang mga puntong ito sa linya ng numero

Tinutukoy namin ang mga palatandaan ng derivative sa bawat agwat, para dito kinakalkula namin ang halaga ng derivative sa alinman sa mga punto ng bawat agwat, halimbawa, sa mga puntong x=-2, x=0, x=3 at x= 6 .

Samakatuwid, ang derivative ay positibo sa pagitan (sa figure naglalagay kami ng plus sign sa pagitan na ito). Ganun din

Samakatuwid, naglalagay kami ng minus sa pangalawang pagitan, isang minus sa pangatlo, at isang plus sa ikaapat.

Ito ay nananatiling upang piliin ang mga punto kung saan ang function ay tuloy-tuloy at ang mga hinalaw na pagbabago nito sign. Ito ang mga extremum point.

Sa punto x=-1 ang function ay tuloy-tuloy at ang derivative ay nagbabago ng sign mula plus hanggang minus, samakatuwid, ayon sa unang sign ng extremum, x=-1 ang pinakamataas na punto, tumutugma ito sa maximum ng function .

Sa punto x=5 ang function ay tuloy-tuloy at ang derivative ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus, samakatuwid, x=-1 ang pinakamababang punto, ito ay tumutugma sa minimum ng function .

Graphic na paglalarawan.

Sagot:

PAKITANDAAN: ang unang sapat na tanda ng isang extremum ay hindi nangangailangan ng function na maging differentiable sa mismong punto.

Halimbawa.

Maghanap ng mga extreme point at extrema ng isang function .

Solusyon.

Ang domain ng function ay ang buong hanay ng mga tunay na numero. Ang function mismo ay maaaring isulat bilang:

Hanapin natin ang derivative ng function:

Sa punto x=0 ang derivative ay hindi umiiral, dahil ang mga halaga ng one-sided na mga limitasyon ay hindi nag-tutugma kapag ang argument ay may posibilidad na zero:

Kasabay nito, ang orihinal na function ay tuloy-tuloy sa puntong x=0 (tingnan ang seksyon sa pagsisiyasat ng isang function para sa pagpapatuloy):

Hanapin ang mga halaga ng argumento kung saan nawawala ang derivative:

Minarkahan namin ang lahat ng nakuhang puntos sa totoong linya at tinutukoy ang tanda ng derivative sa bawat isa sa mga pagitan. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang mga halaga ng derivative sa mga di-makatwirang punto ng bawat pagitan, halimbawa, kapag x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Yan ay,

Kaya, ayon sa unang tanda ng isang extremum, ang pinakamababang puntos ay , ang pinakamataas na puntos ay .

Kinakalkula namin ang kaukulang minima ng function

Kinakalkula namin ang kaukulang maxima ng function

Graphic na paglalarawan.

Sagot:

.

Ang pangalawang tanda ng extremum ng function.

Gaya ng nakikita mo, ang sign na ito ng extremum ng function ay nangangailangan ng pagkakaroon ng derivative kahit man lang hanggang sa pangalawang order sa punto .

Bumaling tayo sa graph ng function na y \u003d x 3 - 3x 2. Isaalang-alang ang kapitbahayan ng puntong x = 0, i.e. ilang pagitan na naglalaman ng puntong ito. Ito ay lohikal na mayroong tulad na kapitbahayan ng punto x \u003d 0 na ang function na y \u003d x 3 - 3x 2 sa kapitbahayan na ito ay tumatagal ng pinakamalaking halaga sa punto x \u003d 0. Halimbawa, sa pagitan (- 1; 1) ang pinakamalaking halaga na katumbas ng 0, ang function ay tumatagal sa puntong x = 0. Ang puntong x = 0 ay tinatawag na pinakamataas na punto ng function na ito.

Katulad nito, ang punto x \u003d 2 ay tinatawag na pinakamababang punto ng function x 3 - 3x 2, dahil sa puntong ito ang halaga ng function ay hindi mas malaki kaysa sa halaga nito sa isa pang punto sa paligid ng punto x \u003d 2 , halimbawa, ang kapitbahayan (1.5; 2.5).

Kaya, ang pinakamataas na punto ng function na f (x) ay ang punto x 0 kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong x 0 - upang ang hindi pagkakapantay-pantay f (x) ≤ f (x 0) ay nasiyahan para sa lahat ng x mula sa kapitbahayan na ito. .

Halimbawa, ang punto x 0 \u003d 0 ay ang pinakamataas na punto ng function f (x) \u003d 1 - x 2, dahil ang f (0) \u003d 1 at ang hindi pagkakapantay-pantay f (x) ≤ 1 ay totoo para sa lahat ng mga halaga ng x.

Ang pinakamababang punto ng function na f (x) ay tinatawag na punto x 0 kung mayroong kapitbahayan ng puntong x 0 na ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x) ≥ f (x 0) ay nasiyahan para sa lahat ng x mula sa kapitbahayan na ito.

Halimbawa, ang punto x 0 \u003d 2 ay ang pinakamababang punto ng function f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2, dahil f (2) \u003d 3 at f (x) ≥ 3 para sa lahat ng x .

Ang mga matinding puntos ay tinatawag na pinakamababang puntos at pinakamataas na puntos.

Bumaling tayo sa function na f(x), na tinukoy sa ilang kapitbahayan ng puntong x 0 at may derivative sa puntong ito.

Kung ang x 0 ay isang extremum point ng isang differentiable function f (x), kung gayon f "(x 0) \u003d 0. Ang pahayag na ito ay tinatawag na Fermat's theorem.

Ang teorama ni Fermat ay may malinaw na geometric na kahulugan: sa pinakasukdulang punto, ang padaplis ay kahanay sa x-axis at samakatuwid ay ang slope nito.
f "(x 0) ay zero.

Halimbawa, ang function na f (x) \u003d 1 - 3x 2 ay may maximum sa puntong x 0 \u003d 0, ang derivative nito f "(x) \u003d -2x, f "(0) \u003d 0.

Ang function na f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 ay may pinakamababa sa puntong x 0 \u003d 2, f "(x) \u003d 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 .

Tandaan na kung f "(x 0) \u003d 0, hindi ito sapat upang igiit na ang x 0 ay kinakailangang ang extremum point ng function na f (x).

Halimbawa, kung f (x) \u003d x 3, pagkatapos ay f "(0) \u003d 0. Gayunpaman, ang punto x \u003d 0 ay hindi isang extremum point, dahil ang function na x 3 ay tumataas sa buong totoong axis.

Kaya, ang mga extremum point ng isang differentiable function ay dapat hanapin lamang sa mga ugat ng equation
f "(x) \u003d 0, ngunit ang ugat ng equation na ito ay hindi palaging isang extremum point.

Ang mga nakatigil na puntos ay mga punto kung saan ang derivative ng isang function ay katumbas ng zero.

Kaya, upang ang point x 0 ay maging isang extremum point, ito ay kinakailangan na ito ay isang nakatigil na punto.

Isaalang-alang ang sapat na mga kondisyon para sa isang nakatigil na punto upang maging isang extremum point, i.e. mga kondisyon kung saan ang isang nakatigil na punto ay isang minimum o pinakamataas na punto ng isang function.

Kung ang derivative sa kaliwa ng nakatigil na punto ay positibo, at sa kanan ito ay negatibo, i.e. derivative changes sign "+" to sign "-" kapag dumadaan sa puntong ito, ang nakatigil na puntong ito ay ang pinakamataas na punto.

Sa katunayan, sa kasong ito, sa kaliwa ng nakatigil na punto, ang pag-andar ay tumataas, at sa kanan, ito ay bumababa, i.e. ang puntong ito ay ang pinakamataas na punto.

Kung binago ng derivative ang sign "-" upang lumagda sa "+" kapag dumadaan sa isang nakatigil na punto, ang nakatigil na puntong ito ay isang minimum na punto.

Kung ang derivative ay hindi nagbabago ng sign kapag dumadaan sa isang nakatigil na punto, i.e. ang derivative ay positibo o negatibo sa kaliwa at sa kanan ng nakatigil na punto, kung gayon ang puntong ito ay hindi isang extremum point.

Isaalang-alang natin ang isa sa mga problema. Hanapin ang mga extremum point ng function f (x) \u003d x 4 - 4x 3.

Solusyon.

1) Hanapin ang derivative: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3).

2) Maghanap ng mga nakatigil na puntos: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.

3) Gamit ang paraan ng agwat, itinatag namin na ang derivative f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) ay positibo para sa x\u003e 3, negatibo para sa x< 0 и при 0 < х < 3.

4) Dahil kapag dumadaan sa punto x 1 \u003d 0, ang tanda ng derivative ay hindi nagbabago, ang puntong ito ay hindi isang extremum point.

5) Binabago ng derivative ang sign "-" sa sign na "+" kapag dumadaan sa punto x 2 \u003d 3. Samakatuwid, ang x 2 \u003d 3 ay ang pinakamababang punto.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Isang simpleng algorithm para sa paghahanap ng extrema..

• Paghahanap ng derivative ng isang function
• I-equate ang derivative na ito sa zero
• Nahanap namin ang mga halaga ng variable ng nagresultang expression (ang mga halaga ng variable kung saan ang derivative ay na-convert sa zero)
• Hinahati namin ang linya ng coordinate sa mga pagitan na may mga halagang ito (kasabay nito, hindi namin dapat kalimutan ang tungkol sa mga break point, na kailangan ding i-plot sa linya), ang lahat ng mga puntong ito ay tinatawag na "kahina-hinala" na mga punto para sa extremum
• Kinakalkula namin kung alin sa mga agwat na ito ang derivative ay magiging positibo, at kung saan ito ay magiging negatibo. Upang gawin ito, kailangan mong palitan ang halaga mula sa pagitan sa derivative.

Sa mga puntos na pinaghihinalaang ng isang extremum, ito ay kinakailangan upang mahanap ang eksaktong . Upang gawin ito, tinitingnan namin ang aming mga puwang sa linya ng coordinate. Kung, kapag dumadaan sa ilang punto, ang tanda ng derivative ay nagbabago mula plus hanggang minus, kung gayon ang puntong ito ay magiging maximum, at kung mula minus hanggang plus, kung gayon pinakamababa.

Upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng isang function, kailangan mong kalkulahin ang halaga ng function sa mga dulo ng segment at sa mga extremum point. Pagkatapos ay piliin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga.

Isaalang-alang ang isang halimbawa
Nahanap namin ang derivative at itinutumbas ito sa zero:

Inilapat namin ang nakuha na mga halaga ng mga variable sa linya ng coordinate at kinakalkula ang tanda ng derivative sa bawat isa sa mga pagitan. Well, halimbawa, para sa unang pagkuha-2 , kung gayon ang derivative ay magiging-0,24 , para sa pangalawang take0 , kung gayon ang derivative ay magiging2 , at para sa pangatlo ay kukunin namin2 , kung gayon ang derivative ay magiging-0.24. Inilalagay namin ang naaangkop na mga palatandaan.

Nakikita namin na kapag dumadaan sa punto -1, ang derivative ay nagbabago ng sign mula minus hanggang plus, iyon ay, ito ay magiging isang minimum na punto, at kapag dumaan sa 1, mula sa plus hanggang minus, ayon sa pagkakabanggit, ito ay isang maximum na punto.